¿Todas las raíces cuadradas son irracionales?

No. Por ejemplo, 9–√=39=3, que es un número racional, y como en Lógica y en Matemáticas basta mostrar un caso que no cumpla la afirmación "todos…", pues ahí tienes. Sin embargo, puedes construir muchos más contraejemplos:

• Utiliza cualquier número natural, nn, elévalo al cuadrado y verás entonces que ese número que resulta, n2n2, tiene una raíz cuadrada que es un número natural, y por tanto, racional.
• Más aún, utiliza cualquier fracción abab con aa y bb enteros positivos y elévala al cuadrado. Entonces a2b2a2b2 es un número que tiene raíz cuadrada racional.
• Todavía más: considera cualquier número ee de la forma e=d0.d1d2d3…dk…...e=d0.d1d2d3…dk…...donde (1) el punto es el separador decimal (en algunos países es el punto y en otros la coma), (2) los didi son dígitos decimales, d1,d2,d1,d2, … son todos iguales o (3) son periódicos (es decir, tienen un patrón que se repite cíclicamente). Entonces ee es un número racional, de modo que si obtienes g=e2g=e2te darás cuenta que g tiene una raíz cuadrada racional.

Por allá abajo (o arriba, no sé en dónde vaya a queda después) te ofrecieron una respuesta muy buena sobre la gráfica de la función f(x)=x−−√f(x)=x.

Saludos.