¿Por qué 1 no es un número primo?

Porque así es más conveniente.
Eso permite evitar decir "excepto el 1" en muchas frases.

Podría haber dicho que el 1 no es primo 'por definición', porque se ha definido así… pero, claro, ese tipo de respuesta no aclara por qué se ha definido así y casi sugiere que en las matemáticas se definen cosas de forma arbitraria, sin sentido, por capricho, lo cual está lejos de ser cierto.

Al principio el 1 se consideraba primo.
¿por qué?
El primer criterio o definición de primo que se usó era no tener divisores que no sean el 1 y el número mismo. Eso es lo que le hacía "primario" o "primitivo" o "primo" ya que no se obtenía multiplicando otros números.
Y, claro, bajo ese criterio el número 1 lo cumple: si exceptuamos el 1 y el número (el 1 otra vez) no hay números naturales que al dividir resulte división exacta con resto cero.

Pero como dije al principio ese criterio o definición tenía el problema de que al enunciar muchas propiedades o reglas matemáticas había que añadir "excepto el 1".
Por eso se decidió cambiar la definición: número primo es aquel que tiene exactamente 2 divisores [distintos] (en los números enteros positivos).

Bajo esta definición el 1 no es primo, porque solamente tiene 1 divisor: el 1.
Sin embargo, el 2 sí es primo, ya que tiene exactamente dos divisores: el 1 y el 2.
El 3 también tiene exactamente 2 divisores [distintos]: el 1 y el 3.
El 4 no es primo porque no tiene exactamente 2 divisores, sino 3: el 1, el 2 y el 4.

¿Cuál sería un ejemplo de propiedad o regla donde tener el 1 incluido en los primos sería inconveniente?
Pues, sin ir más lejos, nada menos que el teorema fundamental de la aritmética.
El teorema fundamental de la aritmética, también llamado teorema de factorización única, dice:

"Cualquier número entero mayor que 1 o bien es un número primo, o bien puede ser representado por un único producto de factores primos (es único salvo por el orden de dichos factores)".

Ejemplo: el número 12 es mayor que 1 y no es primo, así que puede expresarse de una sola forma como producto de números primos: 12 = 2*2*3

Si hubiéramos considerado que 1 es primo el teorema con ese enunciado no sería cierto:
12 = 2*2*3 = 1*2*2*3 = 1*1*2*2*3 = 1*1*1*2*2*3 ….
La factorización no sería única.

Entonces, para que fuese cierto habría que enunciarlo como:
"Cualquier número entero mayor que 1 o bien es un número primo, o bien puede ser representado por un único producto de factores primos excepto el 1 (el producto es único salvo por el orden de dichos factores)".

Así ocurriría con un montón de casos, casi todos los casos en los que hablamos de números primos, casi siempre habría que decir "excepto el 1" … y, por tanto, es más útil, más práctico, más cómodo, decir que los primos no tienen el 1. Como se puede observar no es un capricho tonto de uno o dos matemáticos maniáticos que quisieran quitar el 1 porque le tenían manía, no, no, sino que era algo que todos los matemáticos con un poco de sentido común deseaban y siguen deseando… para hacer las matemáticas más sencillas.