"Encuentra tres números primos de dos dígitos diferentes, donde la media de cualquiera de los dos es un número primo, y el promedio de los tres es...

Me parece un reto interesante, que no es fácil.

Antes de nada resolver alguna ambigüedad del enunciado.
Cuando dice "tres números primos de dos dígitos diferentes" puede interpretarse de dos formas distintas. Una interpretación sería que los dígitos sean diferentes… pero los números de dos cifras que tengan las dos cifras iguales no son en general primos excepto el 11. Parece extraño que quisieran decir eso, porque habrían dicho "números primos distintos del 11".
La otra interpretación es que sean "tres números primos diferentes, cada uno con dos dígitos". En este lo que son diferentes son los 3 números, no los dígitos. Esta interpretación parece la más razonable, porque si los tres números primos no son diferentes hay muchísimas soluciones. De entrada si los 3 primos son iguales cualquier número primo de 2 dígitos sirve. Por ejemplo: (23, 23, 23) sería una terna de números en los que el promedio dos a dos sería 23 y el promedio de los tres sería 23 también y esto ocurre con cualquier primo repetido tres veces.

Por tanto, es lógico que digan que no se repita ninguno de los 3 números que buscamos, pero no es tan lógico o tan "razonable" que digan que no se repitan las cifras.

Los números primos mayores que 3 son de la forma 6k+1 o bien de la forma 6k-1
Eso mismo también se dice que son "+1 (mod 6)" o bien "-1 (mod 6)".

Si un primo es +1 (mod 6) y otro es -1 (mod 6) al sumarlos daría 0 (mod 6), es decir, divisible por 6 y al dividir entre 2 (porque así se calcula el promedio) daría un múltiplo de 3, y, por tanto, el promedio (que es mayor que 3) nunca podría ser primo.
Como consecuencia de este razonamiento, los 3 números que buscamos deben tener el mismo residuo módulo 6, ya sea todos +1 (mod 6) o bien todos -1 (mod 6).

Ahora observemos qué ocurre al promediar dos números con el mismo residuo módulo 6.

6k+1 + 6m+1 = 6(k+m) +2 → promedio: 3(k+m)+1

6k-1 + 6m-1 = 6(k+m) -2 → promedio: 3(k+m) -1

Dado que el resultado del promedio debe ser primo y mayor que 10, deberá ser impar, y, por tanto, (k+m) debe ser par… lo que significa que o bien k y m son ambos impares, o bien k y m son ambos pares, es decir, la misma paridad.

Supongamos el caso de que sean todos pares: k = 2*v
6k+1 = 12*v + 1 →→ 13, 25, 37, 49, 61, 73, 85, 97 → 1 (mod 12)
6k-1 = 12*v - 1 →→ 11, 23, 35, 47, 59, 71, 83, 95 → 11 (mod 12)

Y ahora el caso de todos impares: k = 2w+1
6k+1 = 6*(2w+1) + 1 = 12w+7 →→ 19, 31, 43, 55, 67, 79, 91 → 7 (mod 12)
6k-1 = 6*(2w+1) - 1 = 12w + 5 →→ 17, 29, 41, 53, 65, 77, 89 → 5 (mod 12)

Solamente quedaría escoger ternas de esos 4 subconjuntos de primos, cada uno de ellos congruentes módulo 12, con residuo impar no divisible por 3… residuos 1, 5, 7, 11.

El primer conjunto, el 3º y el 4º tienen 5 primos: las combinaciones son 5*4/2 = 10
El segundo tiene 6 primos, y en estos las combinaciones son 6*5*4/6 = 20.
En total habría 3*10+20 = 50 posibles ternas… lo cual es mucho menos que las posibles ternas entre los 21 primos de 2 cifras → 21*20*19/6 = 7*10*19 = 1330

Y se pueden descartar algunas parejas cuyo promedio no es primo, y que pueden verse a simple vista por estar equidistantes de un número no primo de los que no están en negrita. Por ejemplo, el 13 y el 37 están a ambos lados del 25, o también 37 y 61 (a ambos lados del 49), o el 73 y 97 (a ambos lados del 85), o el 23 y 47 (a ambos lados del 35), o el 11 y 59 (equidistantes del 35 también, pero más lejanos). Con esas parejas imposibles se descartan 3+2+3 +4+4 +3+3 +3 = 25 y quedarían 50–25=25 ternas por probar.

También se pueden descartar parejas cuya suma acaba en 0 (sería múltiplo de 5, por tanto el promedio no es primo). Por un lado las de tipo 3–7 como 13 y 97. Por otro lado las de tipo 1–9 como 19 y 31 o también 29 y 41.
Eso descarta otras… aunque algunas ya se habían descartado. Las que no se habían descartado antes serían: 1 +3+3 +2 +2+3 = 14

Quedarían solamente 11. ¡Bastante pocas!
Tal como las conté deberían ser:
1 del primer conjunto: 10 - 8 - 1 = 1,
6 del segundo conjunto: 20 - 8 - 6 = 6,
2 del tercer conjunto: 10 - 6 - 2 = 2,
2 del cuarto conjunto: 10 - 3 - 5 = 2.

Recordemos los 4 conjuntos:
Conjunto +1 (mod 12) : { 13, 25, 37, 49, 61, 73, 85, 97 }
Conjunto + 11 (mod 12) : { 11, 23, 35, 47, 59, 71, 83, 95 }
Conjunto +7 (mod 12) : { 19, 31, 43, 55, 67, 79, 91 }
Conjunto + 5 (mod 12) : { 17, 29, 41, 53, 65, 77, 89 }

Estas serían las 11 que faltan:

{13, 61, 73} → promedios dos a dos 37, 43, 67 → promedio total: 49 … no sirve

{11, 23, 71} → promedios a pares: 17, 41, 47 → promedio total: 35 … no sirve
{11, 23, 83} → promedios a pares: 17, 47, 53 → promedio total: 39 … no sirve
{11, 47, 71} → promedios a pares: 29, 41, 59 → promedio total: 43 ¡BINGO!
{11, 71, 83} → promedios a pares: 41, 47, 77 … no sirve
{23, 59, 83} → promedios a pares: 41, 53, 71 → promedio total: 55… no sirve
{23, 71, 83} → promedios a pares: 47, 53, 77 … no sirve

{19, 43, 79} → promedios a pares: 31, 49 … no sirve
{19, 67, 79} → promedios a pares: 43, 49… no sirve

{17, 29, 89} → promedios a pares 23, 53, 59 → promedio total: 45… no sirve
{29, 53, 89} → promedios a pares 41, 59, 71 → promedio total: 57… no sirve

Por tanto, la única solución es: {11, 47, 71}

Nota: después de haberlo terminado, me di cuenta de que las ternas de tipo 1_1_3 como {11, 23, 71} y {11, 71, 83} dan una suma total acabada en 5…
También las 3_3_9 como {23, 59, 83} y las 9_9_7 como {19, 67, 79} y {17, 29, 89}.
Esto eliminaría 5 y quedarían solamente 6 de las 11 finales.

También me di cuenta de que la condición de descartar parejas que sumen 0 equivale a que las ternas no pueden tener cifras de unidades diferentes, y en ninguno de los conjuntos hay tres cifras de unidades iguales, así que las cifras de unidades deberán ser 2 iguales y 1 diferente pero sin que sean 1_1_9 ni 1_9_9 (no se admite 1 y 9: 1+9 = 10), ni 3_3_7 ni 3_7_7 (no se admite 3 y 7: 3+7=10). Y por la condición de suma total 5 se han descartado las que dije en el párrafo anterior, así que solamente quedan: 1_1_7, 3_3_1, 3_3_9, 7_7_9 y 9_9_3

Casualmente, la primera de estas, 1_1_7, es la única solución: {11, 47, 71}
(el doble 1 solamente está en el segundo conjunto)
De la segunda, 3_3_1, serían {13, 61, 73} y {11, 23, 83}
(el doble 3 está en el primero y en el segundo)
De la tercera, 3_3_9, sería {23, 59, 83}
(el doble 3 con un 9 solamente en el segundo)
De la cuarta, 7_7_9, no hay ninguna porque el primer conjunto, que tiene dos 7 no tiene ningún 9.
De la quinta, 9_9_3, serían {19, 43, 79} y {29, 53, 89}
(el doble 9 está en los conjuntos tercero y cuarto)

Y con esto he citado los 6 candidatos que decía.