Se dan trece números reales, todos diferentes y todos distintos de cero, siendo la mayoría positivos. Dado que entre los 78 productos de los...

Este es un buen problema de matemáticas, así que lo resolveré paso a paso:

Primero debemos entender bien la pregunta, de otra forma no tendremos esperanzas de resolverla.

Se toman trece números reales, todos diferentes (entre sí) y todos distintos de cero…

Okey, bastante simple, por ejemplo, podrías tomar los números 1,2,π,e,−23,−2–√3,1+5–√2,0.3,−0.2,−10,−222,−33,51,2,π,e,−23,−23,1+52,0.3,−0.2,−10,−222,−33,5. O podrías tomar otros trece números, siempre y cuando no agarres dos veces el mismo número y no agarres el cero, tus trece números también deben cumplir la siguiente condición:

… siendo la mayoría positivos.

Como son trece números, esto significa que más de la mitad de estos deben ser positivos, por ejemplo, la lista de arriba funciona, porque hay más números positivos que negativos, llamaré PP a la colección de números positivos en nuestra lista, y NN a la colección de números negativos de nuestra lista, esto será importante luego:

P:={1,2,π,e,1+5–√2,0.3,5}P:={1,2,π,e,1+52,0.3,5}

N:={−23,−2–√3,−0.2,−10,−222,−33}N:={−23,−23,−0.2,−10,−222,−33}

Notación: Si AA es una lista (o conjunto) de cosas, denotaré la cantidad de cosas en AA, también conocido como el tamaño de AA de la siguiente manera: |A||A|

Hay más números positivos (en este caso 7=|P|7=|P|) que números negativos (en este caso 6=|N|6=|N|); continuemos con la pregunta:

Dado que entre los 78 productos de los números tomados en pares, …

Aquí vale la pena preguntarse, ¿de donde salió el 78?, bueno, pensemos en todos los posibles resultados que podemos obtener si multiplicamos dos números de los trece en nuestra lista:

Hay 1313 opciones para elegir el primer número, llamémoslo aa, 1212 opciones para elegir el segundo, llamémoslo bb, y como el orden no importa (es decir, a×b=b×aa×b=b×a) entonces dividimos entre dos (esto es, porque estamos contando a cada pareja dos veces, la contamos como (a,b)(a,b) y como (b,a)(b,a), pero como el orden no importa, ambas parejas son la misma). Esto significa, que la cantidad de productos que podemos obtener son:

(13×12)/2=156/2=78(13×12)/2=156/2=78

De ahí aparece el 7878, esa es la cantidad máxima de resultados diferentes que podríamos obtener al multiplicar dos números de nuestra lista… ¿por qué la cantidad máxima? Por que puede que obtengamos el mismo resultado con parejas diferentes, por ejemplo: 1×2=−10×−0.21×2=−10×−0.2, aunque sean parejas de números distintas, veamos que nos dicen acerca de estos resultados.

… exactamente 22 son negativos,

Es decir, exactamente 22 de estas multiplicaciones darán como resultado un número negativo, este es el último trozo de información que necesitaremos para resolver la pregunta:

¿Cuántos de los 13 números son negativos?

Quizá podrías pensar que no hay información suficiente, pero estás completamente equivocado; tenemos las siguientes pistas:

• Siempre tenemos una lista de 13 números (no son iguales entre sí, y ninguno es cero), de los cuales 7 o más son positivos (la mayoría deben ser positivos).
• Si anotamos todos los 78 resultados de multiplicar dos números de esta lista, exactamente 22 son negativos.
• La única forma de obtener un número negativo al multiplicar dos números, es que ambos números tengan el signo contrario (Uno negativo y el otro positivo).

Del primer punto, podemos deducir que siempre habrán 6 o menos números negativos en la lista (porque la cantidad de números positivos en la lista más la cantidad de números negativos en la lista debe dar los 13 números de la lista). Con esto podemos descartar casos obvios:

• Si hubieran 00 números negativos, entonces al multiplicar todos los números de la lista entre si, siempre obtendríamos resultados positivos; pero el ejercicio nos dice que hay exactamente 22 resultados negativos… Contradicción, luego no hay 00 números negativos.
• Si hubiera solo un número negativo, la única forma de obtener un resultado negativo es multiplicar este número por alguno de los otros números positivos de la lista (en este caso habrían 12 opciones), por lo que solo hay 12 posibilidades de obtener un número negativo… Contradicción, luego no hay 11 número negativo.

En general, podemos hallar una formula para saber cuántos resultados negativos obtendremos, ¿recuerdas a PP y a NN? Ahora es cuando serán útiles…

Necesitamos un número negativo multiplicado por un número positivo, sabemos que tenemos |N||N| números negativos, y cada uno de estos números puede ser multiplicado por |P||P| números positivos posibles (como siempre colocamos primero el negativo y luego el positivo, no necesitamos dividir por dos, porque contamos cada pareja solo una vez)… Así que la cantidad de resultados negativos al multiplicar dos números de nuestra lista serán:

|N|×|P||N|×|P|, comprobemos:

• Si hubieran 00 números negativos, entonces |N|=0|N|=0, |P|=13|P|=13, luego, la cantidad de resultados negativos es |N|×|P|=0×13=0|N|×|P|=0×13=0. Lo que coincide con lo que vimos antes.
• Si hubiera 11 número negativo, entonces |N|=1|N|=1, |P|=12|P|=12, luego, la cantidad de resultados negativos es |N|×|P|=1×12=12|N|×|P|=1×12=12, que coincide con lo que vimos antes.

Y podemos avanzar un paso más, porque sabemos que |N|+|P|=13|N|+|P|=13 (la cantidad de números negativos y la de números positivos debe sumar a la cantidad de números en total de nuestra lista, en este caso 1313), por lo que podemos escribir la cantidad de números positivos como |P|=13−|N||P|=13−|N|. Con lo que la cantidad de resultados negativos al multiplicar dos números de la lista son:

|N|×|P|=|N|×(13−|N|)=13|N|−|N|2|N|×|P|=|N|×(13−|N|)=13|N|−|N|2, y ahora puedes simplemente adivinar con cada valor de |N||N| cuando 13|N|−|N|2=2213|N|−|N|2=22 (cuando la cantidad de resultados negativos es exactamente 2222).

O en lugar de adivinar, puedes tomar prestado el conocimiento de otra rama de las matemáticas, el álgebra:

13|N|−|N|2=2213|N|−|N|2=22, queremos hallar el valor de |N||N|, así que pasaré todos los números a un lado, y dejaré un cero al otro lado:

−|N|2+13|N|−22=0−|N|2+13|N|−22=0, y ahora podemos hallar el valor de |N||N| usando la fórmula cuadrática:

En nuestro caso, a=−1a=−1, b=13b=13 y c=−22c=−22, en lugar de una xx tenemos a nuestro |N||N|, pues:

a|N|2+b|N|+c=−1|N|2+13|N|−22=−|N|2+13|N|−22=0a|N|2+b|N|+c=−1|N|2+13|N|−22=−|N|2+13|N|−22=0

Así que, lo que nos dice esta fórmula es que:

|N|=−(13)±(13)2−4(−1)(−22)−−−−−−−−−−−−−−−−√2(−1)|N|=−(13)±(13)2−4(−1)(−22)2(−1)

|N|=−13±169−88−−−−−−−√−2=−13±81−−√−2=−13±9−2|N|=−13±169−88−2=−13±81−2=−13±9−2

Lo que nos deja con dos valores posibles:

|N|1=−13+9−2=−4−2=2|N|1=−13+9−2=−4−2=2

|N|2=−13−9−2=−22−2=11|N|2=−13−9−2=−22−2=11

Y ambos son valores que tienen sentido, lo que significa, para sorpresa de todos, que la pregunta no tiene una respuesta única.

Puedes comprobar por ti mismo que, si hay 22 u 1111 números negativos en una lista de 1313 números reales (donde no son iguales entre sí y ninguno es cero) entonces habrán exactamente 2222 resultados negativos (al tomar dos números de la lista y multiplicarlos entre sí)… Sorprendente, ¿no? Con esto termino la respuesta… Si quieres el resumen, hay 22 u 1111 números negativos, ambas respuestas son válidas… ¿O no?

Pues ahora es cuando debemos usar uno de los puntos que aún no hemos usado:

• La mayoría de los números de la lista son positivos.

Esto es importantísimo, porque si tuviéramos 1313 números, y 1111 de ellos fueran negativos, no se tu pero yo no diría que la mayoría de los números en esa lista son positivos… Lo que significa que la respuesta de 1111 no nos sirve.

Dejándonos la única y verdadera respuesta: Hay exactamente 22 números negativos en la lista.

Ojalá te haya gustado este post y este giro inesperado… Que te sea útil, y hasta la próxima locura matemática…