¿El truco para encontrar múltiplos que consiste en sumar los números sirve para todos los números? P. ej. 117 (es 1+1+7= 9, por tanto 117 es...

El "truco" de sumar las cifras para saber si un número es múltiplo de otro solo se aplica al 3 y al 9 en base 10. Para los demás números hay otras reglas que permiten saberlo. Esas reglas se obtienen calculando el resto de la división de las potencias de 10 por el número del que se quieren encontrar sus múltiplos, lo que también se puede obtener con la ayuda de las congruencias.

10 dividido entre 3 y entre 9 tienen ambos resto 1, lo mismo que cualquier otra potencia de 10. Por lo tanto, si un número se escribe en base 10 como N=(anan−1…a1a0),N=(anan−1…a1a0), tenemos que:

N=10nan+10n−1an−1+…+10a1+a0=3kn+an+3kn−1+an−1+…+3k1+a1+a0=3K3+an+an−1+…+a1+a0,N=10nan+10n−1an−1+…+10a1+a0=3kn+an+3kn−1+an−1+…+3k1+a1+a0=3K3+an+an−1+…+a1+a0,

donde K3K3 es un número natural, por lo que NN será múltiplo de 3 si lo es también la suma de sus cifras. El mismo razonamiento se utiliza para saber si NN es múltiplo de 9.

Por otro lado, 10 dividido entre 2 y entre 5 tienen ambos resto 0, lo mismo que cualquier otra potencia de 10. Por lo tanto:

N=2K2+a0,N=2K2+a0, donde K2K2 es un número natural, por lo que NN será múltiplo de 2 si lo es también su última cifra, es decir, si acaba en una cifra par. Por otro lado:

N=5K5+a0,N=5K5+a0, donde K5K5 es un número natural, por lo que NN será múltiplo de 5 si lo es también su última cifra, es decir, si acaba en 0 o en 5.

Finalmente vamos a ver la regla de divisibilidad para un caso no trivial, el 7. Tenemos que el resto de 10/7 es 3, el resto de 100/7 es 2, el resto de 1000/7 es 6 (o 6–7=-1) y, a partir de aquí, podemos hallar los otros restos usando propiedades de las congruencias:

Como 10000=10×100010000=10×1000 y 10≡3(mod7),1000≡−1(mod7):10≡3(mod7),1000≡−1(mod7):

10000≡3×(−1)=−3(mod7),10000≡3×(−1)=−3(mod7), es decir, 10000/7 tiene resto -3 (o 7–3=4).

De la misma manera: 100000/7 tiene resto -2 y 1millón/7 tiene resto 1, por lo que a partir de aquí se repite el ciclo. En resumen:

N=7K7+a0+3a1+2a2−a3–3a4–2a5+a6+3a7+…,N=7K7+a0+3a1+2a2−a3–3a4–2a5+a6+3a7+…,

siendo K7K7 un número natural, por lo que NN será divisible por 7 si lo es a0+3a1+2a2−a3–3a4–2a5+a6+3a7+…a0+3a1+2a2−a3–3a4–2a5+a6+3a7+…

Editado: Una manera muy sencilla de obtener los coeficientes por los que hay que multiplicar cada cifra se basa en las congruencias. Para el caso de la divisibilidad por 7, por ejemplo, tenemos:

10=7+3,10=7+3, luego:

10≡3(mod7),10≡3(mod7),

100=102≡32≡9≡2(mod7),100=102≡32≡9≡2(mod7),

1000=100×10≡2×3≡6≡−1(mod7),1000=100×10≡2×3≡6≡−1(mod7),

etc.