Una persona escribe números primos en una pizarra, algunos de ellos pueden estar repetidos. El producto de los números escritos es igual a 40 veces...

Esta pregunta me parece fascinante, porque a pesar de su sencillez resulta ser un problema más “duro de pelar” de lo que imaginé. Mediante razonamientos heurísticos encontré una solución al problema:

2⋅2⋅2⋅3⋅5⋅7=40⋅(2+2+2+3+5+7)2⋅2⋅2⋅3⋅5⋅7=40⋅(2+2+2+3+5+7)

Aunque luego fui informado por de que al menos existe otra solución:

2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅5⋅5=40⋅(2+2+2+2+2+5+5)2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅5⋅5=40⋅(2+2+2+2+2+5+5)

Mi planteamiento [incompleto] de resolución es usar el teorema fundamental de la aritmética, que establece que todo número entero positivo puede descomponerse de manera única en producto de números primos:

n=2α13α25α3…pαnnn=2α13α25α3…pnαn

Está claro 40=23540=235, y esa es la idea que exploté para calcular mi solución inicial. Dada la descomposicón en factores primos 40=23540=235, está claro que cualquier solución al problema debe cumplir:

2α1−33α25α3−17α4⋯=(2α1+3α2+5α3+7α4+…),(∗)2α1−33α25α3−17α4⋯=(2α1+3α2+5α3+7α4+…),(∗)

Y a partir de ahí, no he hecho muchos más avances. El siguiente paso lógico es mostrar que una ecuación como la anterior sólo admite un número finito de soluciones, porque existan límites del tipo αi≤kαi≤k. Pero no he logrado dar con ellos. Publico esta respuesta por si mis pasos incompletos son de inspiración para alguien que se le ocurre como concluir la demostración de cuantas soluciones existen y cuales son.

En un intento desesperado de encontrar la solución me propuse ver qué sucedía en un problema más general tipo:

pα11…pαnn=C⋅(p1α1+⋯+pnαn)p1α1…pnαn=C⋅(p1α1+⋯+pnαn)

siendo todos los pipi números primos, αi,C∈Nαi,C∈N. Nuevamente encontré algunas soluciones particulares:

2⋅2⋅2⋅5⋅11=20⋅(2+2+2+5+11)2⋅2⋅2⋅5⋅11=20⋅(2+2+2+5+11),2⋅2⋅2⋅7⋅13=28⋅(2+2+2+7+13)2⋅2⋅2⋅7⋅13=28⋅(2+2+2+7+13),
2⋅2⋅2⋅5⋅23=34⋅(2+2+2+5+23)2⋅2⋅2⋅5⋅23=34⋅(2+2+2+5+23)

Pero nuevamente no logro una forma general de encontrar un límite, o el número de soluciones en un problema de ese tipo. Tal vez me equivoco pero (∗)(∗) es un tipo de ecuación diofántica trascendente, para el que tal vez no exista una forma genérica de resolución. La conjetura de Goldbach es un problema que lleva 276 años abierto y tiene un aspecto incluso más inocente:

∀n>1,∃p1,p2:2n=p1+p2 ?∀n>1,∃p1,p2:2n=p1+p2 ?

Es decir, todo número par mayor 2 debería poderse expresar como la suma de dos números primos. Así que algunos en teoría de números algunos problemas aparentemente muy simples resulta que son sorprendentemente díficiles.