¿Por qué el producto de dos números negativos da positivo?

La explicación más formal es que es una propiedad básica que se puede demostrar en todos los anillos, estructura algebraica que define en un conjunto una operación suma a modo de grupo conmutativo y una operación producto que es asociativa y distributiva respecto de la suma. Un ejemplo conocido de anillo es el conjunto de todos los enteros, pero como es lógico también lo son los racionales, los reales, los complejos, etc.

Que la suma sea un grupo conmutativo significa que:

1. Tiene un elemento neutro respecto a la suma, representado por 0, que hace que todo elemento sumado a él dé como resultado el propio elemento, es decir, el elemento neutro no cambia a los elementos al sumarse a ellos, a + 0 = 0 + a = a.
2. Todo elemento tiene opuesto, es decir, aquel que representamos con el elemento precedido de un signo menos, y sumado un elemento y su opuesto da el neutro. Es decir, si a es un elemento del conjunto, -a será su opuesto y a + (-a) = (-a) + a = 0.
3. Es una operación asociativa, es decir, que no importa cómo agrupemos la realización de las operaciones. Para cualquiera elementos a, b y c, tenemos que (a + b) + c = a + (b + c), por lo que no es necesario el uso de paréntesis
4. Conmutativa significa que no importa el orden en que dispongamos los elementos que realizan la operación, es decir, a + b = b + a

La propiedad distributiva es que se cumple

( a + b) * c = a * c + b * c , además de que, a * (b + c) = a * b + a * c

Al ser asociativa también se cumple que a * ( b * c ) = ( a * b ) * c, de modo análogo a la suma.

La sustracción o resta se entiende como la suma del opuesto, es decir, a - b = a + ( -b) , siendo -b el opuesto de b.

Con estas definiciones ya se puede demostrar la regla de los signos, que indica que el producto de los opuestos de dos elementos es igual al producto de dichos elementos, o sea, (-a) * (-b) = a * b

Sean a y b dos elementos cualquiera del anillo. Lo que vamos a demostrar es que (-a)*(-b) - ( a * b) = 0, ya que si se cumple eso bastaría con sumar (a * b) a cada lado de la igualdad para que diera (-a) * (-b) = a * b, que es lo que se pretende demostrar.

Así,

(-a) * (-b) - (a * b) = (-a) * (-b) + (-a) * b ,

y por la propiedad distributiva,

= (-a) * [ (-b) + b ] = (-a) * 0 = 0 , pues la suma de un elemento y su opuesto da el elemento neutro, por la propia definición de opuesto. Además, todo elemento multiplicado por 0 en un anillo da como resultado 0. Esto último se suele demostrar

a * 0 = a * ( 0 + 0 ) = a * 0 + a * 0

en la que aplicamos la propiedad del elemento neutro y la distributiva. Como el elemento neutro es único significa que a * 0 también es el elemento neutro, es decir, a * 0 = 0, para todo elemento a.

Lo único que quedaría por demostrar es que - ( a * b ) = (-a) * b, que se utiliza en el primer paso. Así,

(-a) * b + (a * b) = ( -a + a ) * b = 0 * b = 0 , en la que hemos utilizado la propiedad distributiva, la definición de opuesto y que la multiplicación de cualquier elemento por el 0 da como resultado 0. Pero entonces resulta por la definición de opuesto, que (-a) * b es el opuesto de a * b, ya que su suma resulta en el elemento neutro 0, es decir, hemos demostrado que

(-a) * b = - ( a * b).

Los negativos son los opuestos de los números positivos y por eso como un caso particular de esta propiedad de los anillos, se cumple que el producto de dos negativos es igual al producto de los dos elementos ( que resultan ser los correspondientes positivos ).