¿Cómo demuestro que dados dos números reales positivos, el producto de su suma por la suma de sus inversos es siempre mayor o igual que 4?

Pues mira, me parece interesante, así que lo vamos a hacer. Sean esos dos números xx e yy.

x,y∈R+x,y∈R+

Bien. Estamos hablando de "el producto de su suma por la suma de sus inversos". Eso se traduce en:

(x+y)(1x+1y)(x+y)(1x+1y)

Pues a multiplicar:

(x+y)(1x+1y)=x⋅1x+x⋅1y+y⋅1x+y⋅1y=1+xy+yx+1=xy+yx+2(x+y)(1x+1y)=x⋅1x+x⋅1y+y⋅1x+y⋅1y=1+xy+yx+1=xy+yx+2

Bien, ahora lo que queremos demostrar es que esa cosa siempre será mayor que o igual a 44, si xx e yy son positivos. Pues vamos a plantearnos cuándo esa cosa es mayor que o igual a 44:

xy+yx+2≥4xy+yx+2≥4

Restamos 22 en ambos miembros miembros:

xy+yx≥2xy+yx≥2

Bien, para resolver esta inecuación, voy a realizar un cambio de variable:

t=xyt=xy

Con lo cual la cosa queda así:

t+1t≥2t+1t≥2

Me interesa que en el segundo miembro haya un cero, para que así la cosa sólo dependa del signo del primer miembro. Es por ello que voy a restar 22 en ambos miembros:

t+1t−2≥0t+1t−2≥0

Ahora voy a reducir a común denominador tt:

t2t+1t−2tt≥0t2t+1t−2tt≥0

Es decir:

t2−2t+1t≥0t2−2t+1t≥0

Ahora tenemos que recordar que tt era xyxy. Como tanto xx como yy son positivos, su cociente, tt, también lo será. Eso significa que el denominador del primer miembro de la desigualdad es positivo. Por tanto, para que esa fracción sea mayor o igual que 00, basta con que el numerador lo sea. Nos planteamos cuando ocurre eso:

t2−2t+1≥0t2−2t+1≥0

Ahora fíjate que esto lo podríamos expresar así:

t2−2⋅t⋅1+12≥0t2−2⋅t⋅1+12≥0

Gracias a las identidades notables podemos expresar eso como el cuadrado de un binomio. En este caso, se trata del cuadrado de t−1t−1, luego la cosa queda así:

(t−1)2≥0(t−1)2≥0

Pero, ¡oh, maravilla! Eso es cierto para cualquier valor de tt, pues el cuadrado de cualquier número real es un real no negativo.

¿Esto qué significa? Significa que siempre que tt sea positivo, se cumplirá lo que queríamos demostrar. Puesto que tt era xyxy, lo que necesitamos para que eso sea positivo es que xx e yy tengan el mismo signo y que ninguno sea 00. En nuestro caso, los dos eran positivos, lo cual explica que se haya cumplido en nuestro caso.

Por tanto, ya hemos demostrado lo que pedías. La afirmación "Dados dos números reales postitivos , el producto de suma por la suma de sus inversos es siempre mayor o igual que 44" es cierta.

Y no sólo eso, nuestro análisis nos permite extender aún más la afirmación. "Dados dos números reales no nulos de igual signo, el producto de su suma por la suma de sus inversos siempre es mayor o igual que 44". Eso también es cierto.