¿Cómo demuestras que no existe un número natural s tal que s^2=6?

Creo que lo más rápido (ó práctico) es demostrar que 6–√6 es irracional aunque por supuesto hay otras formas.

Para ello utilizaremos la reducción al absurdo.

Supongamos que sea racional, es decir:

6–√=pq;conmcd(p,q)=1∧q>16=pq;conmcd(p,q)=1∧q>1

Entonces

6=p2q2⇒6q2=p26=p2q2⇒6q2=p2

En este punto hay varias alternativas pero lo primero es saber:

22<6<32⇒2<6–√<322<6<32⇒2<6<3

i) Por divisibilidad

6q2=p2⇒6|p2⇒6|p⇒p=6k6q2=p2⇒6|p2⇒6|p⇒p=6k

Omito esta demostración para no alargar la respuesta pero es fácilmente demostrable utilizando el algoritmo de la división y analizando los restos (0,1,2,3,4,5) quedando como única opción que p=6k.

6q2=(6k)2⇒6q2=36k2⇒q2=6k26q2=(6k)2⇒6q2=36k2⇒q2=6k2

Entonces empleando el mismo razonamiento:

6|q2⇒6|q⇒q=6s6|q2⇒6|q⇒q=6s

Pero hemos llegado a una contradicción porque partíamos de mcd(p,q)=1, luego 6–√6 es irracional. QEDQED

ii) Por paridad. Partimos de:

6q2=p26q2=p2

Esto implica que p2p2 es par puesto que la parte izquierda de la igualdad es par, pero si p2p2es par también lo es pp ya que el cuadrado de un número par es par y el de uno impar es impar. Por tanto p=2kp=2k.

6q2=(2k)2⇒6q2=4k2⇒3q2=2k26q2=(2k)2⇒6q2=4k2⇒3q2=2k2

Ahora tenemos que la parte derecha de la igualdad es par, por tanto para que la parte izquierda sea par, q2q2 y por tanto qq debe ser par, pero volvemos a entra en contradicción puesto que mcd(p,q)=1mcd(p,q)=1luego los dos no pueden ser pares, por tanto 6–√6es irracional. QEDQED

Incluso hay alguna variante más de estas dos demostraciones, pero bueno creo que es ya suficiente.