¿Pueden los números negativos ser números primos?

Depende si te conviene, es decir, la definición de número primo depende del autor y sus propósitos, algunos incluyen a los enteros negativos, otros no e incluso hay quién no hace tal distinción. Sin embargo, toma en cuenta lo siguiente:

1. Los números primos surgen desde la antigua Grecia (probablemente antes), surgen a partir del (un) estudio (muy básico) de la paridad de los números naturales, así como de sus criterios de divisibilidad.
2. Los "números primos positivos" tenían (de hecho tienen) un gran peso en la aritmética, luego de probar que son infinitos, se demostró el Teorema fundamental de la Aritmética, en el cual la descomposición de un número natural sólo depende de sus factores primos positivos.
3. La función zeta de Riemann está muy apegada con la distribución de los números primos positivos.
4. Los números p-ádicos, las estructuras algebraicas p-ádicas, y hasta las topologías p-ádicas se usan con frecuencia para primos positivos, aunque como verás aquí no importa si es positivo o negativo, ya que como son clases de equivalencia basta con tomar un representante de la clase.

Por otro lado, yo desconozco una aplicación (práctica o dentro de la misma matemática) que haga uso y referencia explícita a los primos negativos.