¿Se pueden introducir nuevos tipos de números en las matemáticas (como números negativos, irracionales e imaginarios)? ¿Es posible que haya nuevos...

¿Pueden introducirse nuevos tipos de números en las matemáticas?

Sí. La última estructura que se introdujo y que se reconoce generalmente con un nombre que incluye la palabra "número" fueron los números surreales inventados por John Horton Conway y así nombrados por Donald Knuth en su libro de 1974 Números Surreales: Cómo dos ex-alumnos se convirtieron a la matemática pura y encontraron la felicidad total. Tienen la interesante propiedad de ser el mayor cuerpo ordenado posible (dado un conjunto convencional de axiomas fundacionales). Tan grande, de hecho, que forman una clase más que un conjunto: hay una "nube" de inquietantes y estrictamente ordenados Surreales alrededor de cada uno de los incontables Números Reales, y muchos más además más allá ¡de los extremos de la Línea de Números Reales!

Fuente https://en.m.wikipedia.org/wiki/... [Sólo disponible en inglés]

Conway pasó a escribir su propio libro increíble Sobre números y juegos (ONAG) [no disponible en español], en 1976. ONAG define otra estructura, llamada Juego, usando un procedimiento similar al utilizado para la definición de un Número Surreal pero sin una restricción de orden. Los juegos generalizan los Números Surreales, pero no suelen llamarse números, quizás porque nos gusta pensar que los números pueden, como mínimo, ordenarse.

Ahí radica un problema, porque los Números Complejos tampoco pueden ser ordenados (respetando sus propiedades de cuerpo):

no es ni menor ni mayor que cero. Y aún así los números imaginarios siguen siendo llamados números...

Cuando se trata de la crisis, si llamamos a una estructura matemática un número o no es sólo una cuestión de convención. Un poco como si llamamos a una regla en Física una ley o no. Las leyes son una forma anticuada de nombrar teorías físicas. En cierto modo, los números son una forma anticuada de describir las estructuras matemáticas.

En última instancia, los matemáticos puros investigan objetos raros y maravillosos y no les importa si se les puede llamar números. De lo que tratan muchas matemáticas puras es de nuevos tipos de estructuras, y no hay ninguna restricción para inventar nuevas estructuras en las matemáticas.

Si quieres entender realmente el concepto de los Números, ONAG es un libro brillante y que expande la mente. Un poco técnico pero fácilmente accesible para un matemático de secundaria interesado.