¿Son infinitos los números primos?

No hay límite para los números primos. Hay infinitos de ellos.

Hay un par de cosas que sabemos sobre los números primos: En primer lugar, cualquier número mayor que uno es divisible por algún número primo. En segundo lugar, si N es un número divisible por el número primo p, entonces el siguiente número divisible por p es N + p. En particular, N + 1 nunca será divisible por p. Por ejemplo, 21 es divisible por 7 y el siguiente número es 21 + 7 = 28.

Usemos esto para tratar de ver qué pasaría si solo hubiera un número finito de ellos. Si solo hubiera n números primos, entonces podríamos enumerarlos p1, p2, p3, ..., pn. Luego podríamos multiplicarlos todos juntos para obtener el número

N = p1p2p3 ... pn

Tenga en cuenta que N es divisible por cada primo, no hay extras. Esto significa, según nuestra segunda propiedad, que N + 1 no puede ser divisible por ningún primo. Pero nuestra primera propiedad de los números primos dice que N + 1 es divisible por algún primo. Estas dos cosas se contradicen entre sí y la única forma de resolverlo es si en realidad hay infinitos números primos.

Las posibilidades de que un número sea primo disminuyen a medida que avanza en la recta numérica. De hecho, tenemos una comprensión bastante decente de esta probabilidad. El teorema del número primo dice que las posibilidades de que un número aleatorio entre 2 y N sea primo es de aproximadamente 1 / ln (N). A medida que N va al infinito, 1 / ln (N) va a cero, por lo que los números primos se vuelven cada vez más raros, pero en realidad nunca desaparecen. Para que los números primos se mantengan al día con esta probabilidad, el n-ésimo primo debe ser aproximadamente igual an * ln (n).

Ahora, estos valores son aproximaciones. Sabemos que son aproximaciones bastante buenas, eso es lo que dice el Teorema de los números primos, pero creemos que son aproximaciones realmente buenas. La Hipótesis de Riemann básicamente dice que estas aproximaciones son realmente buenas, pero todavía no podemos probarlo.