¿Qué son los números primos de Fermat?

Dicen que Fermat se dejó llevar por su temperamento de gascón al afirmar categóricamente que si n€N todos los números de la forma:

F(n) = 2^(2^n) + 1 son primos.

En efecto, F(0)=3, que es primo; F(1)=5, primo; F(2)=17, primo; F(3)=257, primo.

F(4)=65537, ¡primo también!

Pero Euler encontró en 1732 que para el exponente 5, es

F(5)=4294967297 = 641 * 6 700 417 (ambos primos)

No todos los "números" de Fermat son "primos" de Fermat, pero hasta hoy día, empleando ordenadores, no se ha llegado a conocer más primos de Fermat que los 5 primeros. Se maneja la hipótesis de que la cantidad de primos de Fermat es finita, algo no demostrado; y menos demostrado aún que solo haya esos 5 primeros.

Cualquiera que no se haya zambullido de cabeza en la teoría de números, puede pensar que esto es una simple curiosidad, pero la profundidad de este asunto trasciende con mucho esa afirmación frívola y superficial.

Como se sabe, uno de los problemas clásicos que nos legaron los antiguos griegos es determinar la construcción exacta con solo regla y compás de los polígonos regulares. Pero pueden tener 3 lados, 4 lados, 5 lados…¡otra vez aparecen los números naturales, del 3 en adelante!

Los griegos solo pudieron construir polígonos regulares, con un número primo de lados igual a 3 (el triángulo equilátero), o igual a 5 (los pentágonos regulares convexos o estrellados) y ahí se acabó todo. Nunca pudieron construir exactamente, por ejemplo, un heptágono, polígono regular de 7 lados, ni un eneágono regular (9 lados).

También sabían construir exactamente polígonos con un número impar de lados igual al producto 3*5=15, el pentedecágono regular, o polígono regular de 15 lados; y todos los polígonos con número par de lados cuya descomposición en factores primos solo tuviera cualquier potencia de 2, y el 3 y el 5 indistintamente elevados a 1 ó elevados a 0. Es decir, los griegos solo sabían construir polígonos regulares con un nº de lados n≥3, si era

n=(2^α) * (3^β) * (5^γ), con α≥0, 0≤β<2, 0≤γ<2,

y eso siguió así hasta que entró en escena Gauss (1777–1855).

A sus 17 años, Gauss estaba fascinado por el latín y el griego, y consideraba seriamente dedicarse a esas materias filológicas; pero el polígono regular de 17 lados, el heptadecágono regular vino en socorro de la Ciencia y convenció a Gauss para dedicarse a la matemática, en la que desempeñó un papel paralelo al de Bach en la música.

Gauss, con 17 años logró construir exactamente el 17-gono regular y andando el tiempo, por ser su descubrimiento más emotivo, lo hizo inscribir sobre su tumba. Pero con 19 ¡no construyó el 19-gono! No hay que aventurar conclusiones apresuradas.

Gauss analizó el problema general de la construcción con regla y compás de los polígonos regulares y el mérito de su investigación es que todavía no se había desarrollado la teoría de Galois, que es el contexto natural del problema; es decir, lo resolvió "artesanalmente", y llegó a su bellísimo teorema:

Para que sea constructible el polígono regular de n lados, con n natural>2, es necesario y suficiente que φ(n) sea una potencia de 2, donde φ es el indicador de Euler, esto es, el número de números entre 1 y n inclusive que son primos con n, por tanto, que no tienen ningún divisor en común con n (salvo el 1).

Al fin aquel problema geométrico no resuelto durante siglos, era realmente, en esencia, un problema de teoría de números. Pero la bola de nieve no había hecho más que empezar a rodar.

¿Qué números naturales n>2 tienen indicador potencia de 2? No es el paso más difícil; es relativamente sencillo contestar a esta pregunta:

Justo los n cuya descomposición en factores primos es del tipo:

n= 2^α * F(k1) * F(k2) * …*F(kj)

con todos los k1, k2, …kj distintos dos a dos, donde aparte de 2^α (con α ≥ 0) todos los otros factores primos F(kr) del segundo miembro son números primos de Fermat y distintos entre sí.

¡Ahí estaba otra vez el viejo Fermat! Su fantasma aletea por toda la teoría de números, y se deja ver de cuando en cuando…

Por eso no podía construirse el eneágono, pues 9=3^2, 3 es primo de Fermat pero solo podría tener exponentes 1 ó 0 para poder ser constructible el 9-gono.

Una demostración rápida de imposibilidad de la construcción exacta del eneágono con solo regla y compás es conectarlo con el problema de la trisección del ángulo de 60º: si fuera posible construir el 9-gono, el ángulo central valdría 360º/9=40º, éste podríamos bisecarlo con regla y compás y tendríamos el ángulo de 20º, lo mismo que su seno y coseno, que se expresarían mediante operaciones racionales en nº finito y radicales cuadráticos en nº finito, algo imposible porque sabemos que no se puede trisecar el ángulo de 60º (con solo regla y compás).

Tampoco era constructible el heptágono regular, pues 7 no es primo de Fermat, es decir, no es del tipo 2^(2^k)+1.

Era claro, y no es difícil de probar, que si es constructible el p-gono, con p primo, y el q-gono con q primo distinto de p, entonces

es constructible el pq-gono.

En general, si es constructible el m-gono y el n-gono, siendo m y n primos entre sí, es constructible también el mn-gono.

Así se podía construir el 15-gono, dividiendo una circunferencia en 5 partes iguales y cada parte en 3, como habían observado los griegos.

De modo que los polígonos protagonistas y que desempeñaban el papel principal en la constructibilidad eran los de un número primo de lados, siendo ese número un primo de Fermat: se volvía así al viejo problema de Fermat, aún no resuelto hoy día, sobre cuáles son exactamente esos primos, y si hay o no una cantidad finita.

Aunque Gauss resolvió el problema de la constructibilidad de polígonos regulares con regla y compás de una manera impecable, todo quedó pendiente del problema de los primos de Fermat, y ahí sigue empantanado, porque es actualmente un problema abierto.

Según Niven y Zuckerman en su conocido texto sobre teoría de números (An introduction to the theory of numbers, 5th edition) si 5 ≤ n ≤ 21 → F(n)=2^(2^n)+1 es compuesto, o sea, no es primo.

En resumen:

Los polígonos regulares, con un número primo de lados, que actualmente sabemos que se pueden construir con regla y compás son

el 3-gono (triángulo equilátero), el 5-gono (pentágono), el 17-gono (heptadecágono), el 257-gono y el 65537-gono.

Si hay k números primos de Fermat, el nº de polígonos constructibles con un nº de lados, expresado por productos de esos primos de Fermat es 2^k-1 (precisamente el nº de subconjuntos no vacíos de esos k números), de modo que como conocemos por ahora 5, podemos construir 2⁵-1=31 polígonos regulares, con nº impar de lados 3, 3*5=15, 3*17=51, 3*257=771…

257*65537=16 843 009, así como aquellos que tienen estos nº de lados multiplicados por cualquier potencia de 2.

Pero extraer de estas observaciones teóricas, en relación con el Teorema de Gauss sobre polígonos regulares, la receta concreta para construir con solo regla y compás el polígono constructible, lleva bastante trabajo: Gauss lo llevó a cabo para el 17-gono, no es demasiado complicado.

Pero Richelot en 1832 construyó el polígono regular de 257 lados, hazaña muy notable; y dejó escritas todas las instrucciones que hay que seguir para trazarlo exactamente con regla y compás.

Sin embargo, el profesor Hermes, de Lingren dedicó 10 años de su vida a construir el 65537-gono regular con regla y compás, detallando todos los pasos que hay que seguir para dibujarlo: una prueba de la capacidad de perseverancia de algunos ejemplares de la raza humana.

Los bombardeos de la Segunda Guerra Mundial provocaron pérdidas lamentables de valiosos trabajos que se conservaban en la Biblioteca de Göttingen, pero afortunadamente, el del profesor Hermes sobrevivió y quedó milagrosamente intacto.