¿Existe alguna generalización del "teorema de los números primos" en el anillo de los enteros gaussianos?

Sí, por supuesto que la hay. No es exactamente una generalización: es más bien una consecuencia del TNP estándar, junto con la manera en que algunos números primos siguen siéndolo en Z[i]Z[i] y otros no, y el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas.

He aquí cómo funciona la cosa.

Los enteros gaussianos, denominados colectivamente Z[i]Z[i], son números de la forma a+bia+bi donde a,ba,b son enteros ordinarios: estos números pueden ser sumados, restados y multiplicados, pero algunos no pueden ser divididos, así que existen algunos que son primos. La propiedad de factorización única es válida (exceptuando la división por unitarios, como es usual), además es aplicable el algoritmo de Euclides de la división, así como análogos del pequeño teorema de Fermat, etc, etc.

Un concepto importante es de norma: la norma de a+bia+bi viene dada por N(a+bi)=a2+b2N(a+bi)=a2+b2. Esta es una medida del “tamaño” de un entero gaussiano y es un análogo del valor absoluto de un entero ordinario.

La norma nos permite muchas cosas, entre otras cosas estudiar cuestiones como “¿cuántos primos gaussianos existen con una norma menor o igual que MM?” Esto es precisamente lo que llamaríamos un análogo del Teorema de los Números Primos.

(Puedes considerar igualmente una forma alternativa de la norma incluyendo una raíz cuadrada N¯(a+bi)=a2+b2−−−−−−√N¯(a+bi)=a2+b2, el resultado no cambia).

He aquí un esbozo de por qué lo anterior es cierto.

Con todo primo ordinario pp pueden pasar dos cosas dentro de Z[i]Z[i]. O bien permanece como primo (“inerte”), lo cual sucede precisamente cuando es congruente con 3 mod43 mod4, o bien factoriza como producto de dos primos gaussianos conjugados, es decir, p=ππ¯p=ππ¯, por ejemplo:

2=(1+i)(1−i)2=(1+i)(1−i)
5=(2+i)(2−i)5=(2+i)(2−i)
13=(3+2i)(3–2i)13=(3+2i)(3–2i)

El punto importante es que todos los primos gaussianos acaban interviniendo de esta manera. Existe primos ordinarios, como 7=7 + 0i7=7 + 0i, o son primos ππ tales que ππ¯=pππ¯=p y pp es un primo ordinario.

Otra observación importante es que en el primer caso, N(p)=p2N(p)=p2, mientras que en el segundo N(π)=pN(π)=p. En otras palabras, los primos gaussianos que surgen de factorizar algunos primos ordinarios son mucho más pequeños que los correspondientes primos gaussianos que proceden de primos inertes del mismo tamaño (y por tanto aparecen antes en el contaje por norma).

Así, cuando recopilamos los primos gaussianos con norma menor o iguales que MM, estamos estudiando dos cosas: primos ordinarios de tamaño inferior a MM que son congruentes 1 mod 41 mod 4, y primos ordinarios menores que M−−√M que son congruentes 3 mod 43 mod 4.

Por el teorema de Dirichlet, cerca de la mitad de los primos por encima de cierta cota son congruentes con 1 mod 41 mod 4. Esto significa que los primos gaussianos con norma menor que MM está dominado por el caso con factorización. La contribución de los primos inertes es por tanto despreciable, puesto que sólo los contabilizamos hasta el número insignificante M−−√M.

De esto se sigue el que los primos gaussianos con norma menor o igual que MM es más o menos el mismo que el de números ordinarios hasta MM, y el TNP clásicos, funciona también para enteros gaussianos, es decir, su número se puede aproximar por M/lnMM/ln⁡M.

Una consecuencia importante de este análisis es que, cuando estudiamos los primes en anillos numéricos generales, necesitamos entender como los primos ordinarios pueden llegar a factorizar en esos anillos. Esto es fundamental para la teoría de números algebraica y analítica, y lo que hemos visto es un simple vistazo al caso más simple posible: el anillo de los enteraos generados por el polinomio sencillo X2+1X2+1 que resulta ser Z[i]Z[i].

El caso general se puede tratar mediante el célebre Teorema de Densidad de Cheboratev[1], un teorema maravilloso que elucida la estadísica de las diferentes maneras en que los primos ordinarios factorizan en ciertos anillos numéricos.

Notas al pie