¿Los números son infinitos?

Sí, como construcción abstracta son infinitos. Hay infinitos números naturales, hay infinitos números pares, hay infinitos números impares, de hecho se puede demostrar y esto es paradójico que hay tantos números pares como números naturales. Para ver esto hay que hacer una relación uno a uno entre los dos conjuntos, para cada número entero nn podemos encontrar el número par 2n2n, así no hay ningún número natural que se quede sin pareja, y de ahí que sean el mismo grado de infinito (esto parece paradójico porque nunca sucede con los conjuntos finitos, pero mi definición favorita de conjunto infinito es esta: aquel tal que una parte del mismo tiene tantos elementos como la totalidad del conjunto, todos los conjuntos infinitos de cualquier grado satisfacen eso, pero ningún conjunto finito la satisface).

En el siglo III a.C. Euclídes ya conocía una demostración preciosa de que además existen un número infinito de números primos. En el siglo XIX se mostró que hay tanto números racionales como números enteros (esto puede parecer paradójico, porque entre cualesquiera dos enteros hay infinitos racionales). El número de naturales, pares, impares, enteros o racionales es un infinito que se denomina ℵ0ℵ0.

Pero la cosa no acaba ahí, el número de números reales o complejos es un infinito superior denominado ℵ1ℵ1. Este tipo de infinito empieza a desafiar la intuición humana, y más allá de él existen ℵ2,ℵ3,…ℵ2,ℵ3,… y tras todos ellos existe ℵωℵω pero tras él existe ℵω+1ℵω+1 y así hasta el infinito. Es decir, existe una infinidad de de grados de infinito… todo esto ya desafía la intuición de la mayoría de la gente.