¿Qué es la geometría algebraica?

Wikipedia da una definición general (como es costumbre) de lo que es la geometría algebraica. Me gustaría dar una interpretación mas simple de lo que es la geometría algebraica por medio de algo mucho mas sencillo que muchos ya conocen, el álgebra lineal.

Es familiar para todos (los que buscan entender la geometría algebraica) que uno de los puntos centrales del álgebra lineal es encontrar las soluciones a sistemas de ecuaciones lineales. Esencialmente es en esto mismo en lo que consiste la geometría algebraica, solo que esta tiene una sutil diferencia, no se estudian sistemas de ecuaciones lineales sino sistemas de ecuaciones polinomiales.

Sin entrar en detalles técnicos, una ecuación polinomial puede ser esto

x3+y3=z3x3+y3=z3

O esto

x2+y2+z2=1x2+y2+z2=1

Dichas ecuaciones pueden ser estudiadas por separado y dar una o varias soluciones pero ¿que pasa cuando vemos soluciones simultaneas a ambas ecuaciones? Ese es el proposito de la geometría algebraica. Se encarga de estudiar el conjunto de los de ceros (soluciones), Z(f1,…,fn)Z(f1,…,fn), de los polinomios f1,…,fnf1,…,fn.

Esta presentación de lo que es la geometría algebraica es muy informal pero dado que en Wikipedia aparece una presentación formal de la geometría algebraica, por lo que quise presentar la versión "intuitiva" del asunto. La geometría algebraica se basa en rasgos generales en el estudio de el conjunto de ceros de polinomios en varias variables. Cualquiera que haya trabajado con polinomios sabe dos puntos importantes

1. Tratar con polinomios de varias variables puede ser increíblemente complicado. Por lo que un estudio sobre las soluciones de polinomios y sistemas de polinomios es importante.
2. Muchos conceptos importantes en matemáticas y afines son presentado en formas de polinomios de varias variables. De allí el gran interés en tener una teoría completa acerca de estos.

Espero que esta explicación simple pueda ser de utilidad.