¿Cómo se calcularía el campo magnético de un imán? He intentado con el momento magnético a través de la bobina de Helmholtz pero no sé si es...

Calcular el campo magnético de un imán es una tarea que se puede volver muy engorrosa, ya que necesitarías calcular el campo en cada punto del espacio. Ahora, que si haces aproximaciones ideales, el método expuesto en el documento de la pregunta es muy útil.

A manera de ejemplo resolveré teóricamente el campo magnético creado por un imán cilíndrico que tiene una magnetización sobre su eje de simetría y es constante, este resultado puede servir para contrastar los resultados experimentales según el método del documento anexo a la pregunta.

Pues bien, para obtener el campo vectorial magnético de un imán, se puede partir de la expresión para el potencial escalar magnético ΦMΦM y una vez obtenido este, tomar el gradiente para obtener el campo vectorial BB, i.e. B=−∇ΦMB=−∇ΦM.

Supóngase que tenemos el imán (centrado en el origen) de radio RR, su altura 2L2L apunta sobre el eje zz; además de su magnetización M=M0z^M=M0z^.

El potencial magnético queda definido por

ΦM(x)=14π∮M⋅n^|x−x′|dS.ΦM(x)=14π∮M⋅n^|x−x′|dS.

De la expresión anterior es posible ver que sólo importan las superficies superior e inferior del imán. Usando coordenadas cilíndricas (ρ=x2+y2−−−−−−√,zρ=x2+y2,z), el potencial magnético se expresa como

ΦM(ρ,z)=M04π∫2π0∫R0ρ′dρ′dϕ′ρ2+ρ′2−2ρρ′cos(ϕ−ϕ′)+(z−L)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√−M04π∫2π0∫R0ρ′dρ′dϕ′ρ2+ρ′2−2ρρ′cos(ϕ−ϕ′)+(z+L)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√.ΦM(ρ,z)=M04π∫02π∫0Rρ′dρ′dϕ′ρ2+ρ′2−2ρρ′cos⁡(ϕ−ϕ′)+(z−L)2−M04π∫02π∫0Rρ′dρ′dϕ′ρ2+ρ′2−2ρρ′cos⁡(ϕ−ϕ′)+(z+L)2.

Cada integral representa la contribución de cada tapa del imán, y dado que son similares, me enfocaré en la solución de la integral del tipo

I0=∫2π0∫R0ρ′dρ′dϕ′ρ2+ρ2−2ρρ′cos(ϕ−ϕ′)+ζ2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√.I0=∫02π∫0Rρ′dρ′dϕ′ρ2+ρ2−2ρρ′cos⁡(ϕ−ϕ′)+ζ2.

Integrando en ϕ′ϕ′

I0=∫R04ρ′(ρ−ρ′)2+ζ2−−−−−−−−−−−√K(−4ρρ′(ρ−ρ′)2+ζ2−−−−−−−−−−−√)dρ′,I0=∫0R4ρ′(ρ−ρ′)2+ζ2K(−4ρρ′(ρ−ρ′)2+ζ2)dρ′,

en donde

K(x)=∫π/20dθ1−xsin2θ−−−−−−−−−√,K(x)=∫0π/2dθ1−xsin2⁡θ,

es la Integral Elíptica (completa) de Primera Especie.

Para integrar en ρ′ρ′, se reescribe I0I0 como

I0=4∫π/20dθ∫R0((ρ−ρ′)2+ζ2ρ′2+4ρρ′sin2θ)−1/2dρ′,I0=4∫0π/2dθ∫0R((ρ−ρ′)2+ζ2ρ′2+4ρρ′sin2⁡θ)−1/2dρ′,

y se obtiene

I04=∫π/20dθ{R2+ρ2+ζ2−2ρRcos(2θ)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+ρcos(2θ)log(R−ρcos(2θ)+R2+ρ2+ζ2−2ρRcos(2θ)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√)−ρ2+ζ2−−−−−−√−ρcos(2θ)log(ρ2+ζ2−−−−−−√−ρcos(2θ))}.I04=∫0π/2dθ{R2+ρ2+ζ2−2ρRcos⁡(2θ)+ρcos⁡(2θ)log⁡(R−ρcos⁡(2θ)+R2+ρ2+ζ2−2ρRcos⁡(2θ))−ρ2+ζ2−ρcos⁡(2θ)log⁡(ρ2+ζ2−ρcos⁡(2θ))}.

Las integrales que quedan por realizar son

I1=∫π/20dθR2+ρ2+ζ2−2ρRcos(2θ)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(ρ+R)2+ζ2−−−−−−−−−−−√E(4ρR(ρ+R)2+ζ2−−−−−−−−−−−√)I1=∫0π/2dθR2+ρ2+ζ2−2ρRcos⁡(2θ)=(ρ+R)2+ζ2E(4ρR(ρ+R)2+ζ2)

en donde

E(x)=∫π/20dθ1−xsin2θ−−−−−−−−−√,E(x)=∫0π/2dθ1−xsin2⁡θ,

es la Integral Elíptica (completa) de Segunda Especie,

I2=∫π/20ρcos(2θ)log(R−ρcos(2θ)+R2+ρ2+ζ2−2ρRcos(2θ)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√)dθI2=∫0π/2ρcos⁡(2θ)log⁡(R−ρcos⁡(2θ)+R2+ρ2+ζ2−2ρRcos⁡(2θ))dθ

I3=∫π/20dθρ2+ζ2−−−−−−√=π2ρ2+ζ2−−−−−−√,I3=∫0π/2dθρ2+ζ2=π2ρ2+ζ2,

I4=∫π/20ρcos(2θ)log(ρ2+ζ2−−−−−−√−ρcos(2θ))dθ=π2(|ζ|−ρ2+ζ2−−−−−−√).I4=∫0π/2ρcos⁡(2θ)log⁡(ρ2+ζ2−ρcos⁡(2θ))dθ=π2(|ζ|−ρ2+ζ2).

Se reta al lector a demostrar las integrales anteriores, en especial I2I2, resultado que reservo al final de la respuesta.

Entonces

I04=(ρ+R)2+ζ2−−−−−−−−−−−√E(4ρR(ρ+R)2+ζ2−−−−−−−−−−−√)+I2−π2|ζ|.I04=(ρ+R)2+ζ2E(4ρR(ρ+R)2+ζ2)+I2−π2|ζ|.

De esta forma el Potencial Magnético queda como la combinación de I0I0 evaluada en las tapas, por lo que se sustituye ζ→z∓Lζ→z∓L según corresponda,

ΦM(ρ,z)=M04π[I0(ρ,ζ=z−L)]−M04π[I0(ρ,ζ=z+L)].ΦM(ρ,z)=M04π[I0(ρ,ζ=z−L)]−M04π[I0(ρ,ζ=z+L)].

Y finalmente, al tomar el gradiente se obtiene el campo magnético BB

B=−∇ΦM.B=−∇ΦM.

Para efectos de simulación se supondrá R=8R=8, L=12L=12 y se hará un corte transversal en y=0y=0. Usando ContourPlot en Wolfram|Mathematica el campo escalar ΦMΦM se ve como

donde los colores indican la intensidad del campo.

Usando StreamPlot, el campo vectorial BB se ve como

Nótese cómo se curvan las líneas de campo dependiendo de la región, además de la intensidad de éste según el código de color.

Uniendo ambas gráficas anteriores se aprecia claramente la conducta dipolar (recordar que el imán está de x→[−8,8]x→[−8,8] y z→[−12,12]z→[−12,12])

Usando ListLineIntegralConvolutionPlot, la gráfica del campo se ve como

Entonces, dada la función analítica del campo magnético, se podría comparar los valores dados según la teoría y la parte experimental y ver qué tan cercano estuvo según las suposiciones iniciales.

Asimismo, en vista de lo engorroso que se puede volver el cálculo hasta para una geometría tan sencilla y con magnetización constante, no es de extrañarse que los cálculos en este tipo de problemas sean puramente numéricos.

El resultado de la integral I2I2 me llevó semanas de pensar pero llegué al resultado en términos de las 3 integrales elípticas, a saber

I2=12(R+ρ)2+ζ2−−−−−−−−−−−√((R−ρ)2+ζ2(R+ρ)2+ζ2K(v)−E(v))−(R−ρ)2+ζ2−−−−−−−−−−−√ρ2+ζ2−−−−−−√((R+ρ)2+ζ2−−−−−−−−−−−√+(R−ρ)2+ζ2−−−−−−−−−−−√){(ρ2+ζ2−ρρ2+ζ2−−−−−−√)[Π(p−p+u∣∣u2)−Π(p+p−u∣∣u2)]+(ρ2+ζ2+ρρ2+ζ2−−−−−−√)[Π(q+q−u∣∣u2)−Π(q−q+u∣∣u2)]}I2=12(R+ρ)2+ζ2((R−ρ)2+ζ2(R+ρ)2+ζ2K(v)−E(v))−(R−ρ)2+ζ2ρ2+ζ2((R+ρ)2+ζ2+(R−ρ)2+ζ2){(ρ2+ζ2−ρρ2+ζ2)[Π(p−p+u|u2)−Π(p+p−u|u2)]+(ρ2+ζ2+ρρ2+ζ2)[Π(q+q−u|u2)−Π(q−q+u|u2)]}

en donde

Π(n∣∣m)=∫π/20dθ(1−nsin2θ)1−msin2θ−−−−−−−−−√Π(n|m)=∫0π/2dθ(1−nsin2⁡θ)1−msin2⁡θ

es la Integral Elíptica (completa) de Tercera Especie,

u=(R+ρ)2+ζ2−−−−−−−−−−−√−(R−ρ)2+ζ2−−−−−−−−−−−√(R+ρ)2+ζ2−−−−−−−−−−−√+(R−ρ)2+ζ2−−−−−−−−−−−√,u=(R+ρ)2+ζ2−(R−ρ)2+ζ2(R+ρ)2+ζ2+(R−ρ)2+ζ2,

v=4ρR(R+ρ)2+ζ2,v=4ρR(R+ρ)2+ζ2,

p±=R+ρ2+ζ2−−−−−−√±(R−ρ)2+ζ2−−−−−−−−−−−√,p±=R+ρ2+ζ2±(R−ρ)2+ζ2,

q±=R−ρ2+ζ2−−−−−−√±(R−ρ)2+ζ2−−−−−−−−−−−√.q±=R−ρ2+ζ2±(R−ρ)2+ζ2.

Nota: Es posible que usando algunas relaciones de Integrales Elípticas, se pueda simplificar un poco más.

Como dato extra

limζ→0I2=(R−ρ)2K(4ρR(R+ρ)2)−(R+ρ)2E(4ρR(R+ρ)2).limζ→0I2=(R−ρ)2K(4ρR(R+ρ)2)−(R+ρ)2E(4ρR(R+ρ)2).

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