¿De qué sirve el algebra lineal?

El Álgebra Lineal hace la diferencia entre salvar o perder miles de vidas e infraestructura millonaria. Por ejemplo, estos son espectrogramas de un terremoto submarino, recogidos con hidrófonos en distintas estaciones de escucha.

La imagen completa se representa como una matriz. Las filas representan frecuencias, las columnas segundos, y los números representan amplitudes.

Una matriz es más que un "panal de números", también es un mapa de las relaciones entre esos números. Sus posiciones y valores son importantes en una matriz, tal como en un espectrograma la distribución y magnitud de cada punto da pistas sobre el tipo de sonido.

Espectrogramas de pulsos de sonar (arriba), cavitación de hélices (centro) y motor de un buque (abajo). Cada sonido submarino tiene su propia "huella" espectral, que equivale a matrices con distintas distribuciones de valores.

Boya de alerta temprana de tsunamis. La seguridad de los países de basa en redes de sensores y computadores, que procesan sonidos con filtros digitales basados en álgebra lineal.

El procesamiento digital de sonidos marinos es muy denso para comentar aquí, pero podemos hacer un ejemplo sencillo con un espectrograma de 2 frecuencias y 2 instantes de tiempo, representado con una matriz de 2x2:

A=(a11a21a12a22)A=(a11a12a21a22)

¿Cómo detectar el inicio de un terremoto?

Por ejemplo, se podrían medir las diferencias de amplitud de cada frecuencia entre instantes de tiempo, y sumar los valores.
Si el resultado es un número grande, tendremos un buen indicador.
Si se combinan las lecturas de varios sensores, se puede estimar el epicentro por trilateración, y la hora de llegada de un tsunami a la costa.

En otras palabras, buscamos obtener un vector:

B=(a12−a11a22−a21)B=(a12−a11a22−a21)

Esto equivale a multiplicar la matriz espectrograma por algún filtro KK, tal que el resultado sea el vector B:

A×K=BA×K=B

K=(−11)K=(−11)

El último paso es sumar los resultados de cada fila (frecuencias), que no es más que una multiplicación de vectores:

(11)×B=(11)×(a12−a11a22−a21)(11)×B=(11)×(a12−a11a22−a21)

=(a12−a11)+(a22−a21)=(a12−a11)+(a22−a21)

Aunque es un ejemplo muy simple, el análisis de sismogramas también usa operaciones lineales (FFT, filtros FIR, producto punto, etc.) sobre vectores de números complejos, que representan amplitud y fase de distintas frecuencias.