¿Existe alguna circunstancia en particular donde [AxB=BxA] o es [AxB=-(BxA)] una propiedad que se cumple sin importar qué? (Producto cruz o...

¿Existe alguna circunstancia en particular donde [AxB=BxA] o es [AxB=-(BxA)] una propiedad que se cumple sin importar qué? (Producto cruz o vectorial).

La pregunta literalmente hablando no se refiere al producto "cruz o vectorial" como operación principal, de la forma en que está escrita se refiere matemáticamente hablando a la operación de producto cartesiano entre el conjunto A y el conjunto B.

Para entender el producto cruz como operación se debe remitir a la teoría de conjuntos, donde la notación tradicional indica que A (las letras o caracteres en mayúscula) corresponden al conjunto, y a )las letras o caracteres en minúscula) corresponden a los elementos del conjunto. Lo anterior es importante, puesto que los elementos son los responsables de crear los pares ordenados, o sea, que un elemento del conjunto A se relaciona ordenadamente con un elemento del conjunto B, la palabra clave aquí es orden, ya que (a,b) tiene un orden distinto a (b,a), pesar a que son el mismo tipo de elementos de cada conjunto, pero no poseen la misma imagen y anti imagen. Existe la excepción a esta regla, se llama la función de identidad, donde:

de este AXA es igual a AXA, entonces si A=B se obtiene AXB es igual a BXA, lo cual se explica del siguiente modo:

En referencia a la suposición de que:

puesto que A no es igual a B.

La posible solución de que AXB=¬(AXB) es una falacia, ya que no siempre todos los conjuntos permitirán que su producto cartesiano sea igual al complemento de su producto cartesiano. Recuerde que la negación es una función, que tiene como sinónimo "la función del complemento". Ahora vamos a validar la falacia.

A=al conjunto de los números naturales N

B=al conjunto de los números enteros Z

Recuerde que Z tiene enteros positivos y negativos, mientras que N no tienen negatividad y no reconoce al cero, por lo que el complemento de ¬(AXB) incluiría a los enteros negativos, los cuales no existen en A, por lo tanto, nunca fueron parte del producto cartesiano AXB, ya que éste último no podría incluir números negativos, por lo que se tiene que:

Recuerde que el complemento es ¬(AXB).

Respecto al producto cruz vectorial, este se basa en el principio del producto cartesiano, pero acondicionado al contexto vectorial que es más complejo que la aritmética utilizada en las demostraciones anteriores. En lo relacionado con vectores se debe partir del hecho, que se debe indicar que se está trabajando con vectores, si además estos están en R2 o R3, por lo tanto la notación correcta sería así:

de lo contrario, se debe estipular que:

De este la asunción de su pregunta sería correcta, ya que para un físico o un químico AXB sería asumido como producto cruz vectorial, aunque esté mal expresado, pero para un ingeniero o alguien involucrado con electrónica AXB sería un producto cartesiano, ya que el término de la pregunta está dispuesto de ese modo.

Habiendo esclarecido el error en al expresión, se debe tener en cuenta que el complemento de un vector podría equivaler al complemento de las coordenadas del vector, por lo que la negación de AXB sería el equivalente a cambiar la dirección, ya que el complemento de un vector es el equivalente al cambio de dirección, es como si AXB se dirigiera hacia arriba y ¬AXB se dirigiera hacia abajo.

En conclusión, el producto cruz vectorial AXB no sería posible ya que la función de identidad si recae para cada vector, pero no pueden haber dos vectores iguales, por lo que AXB no puede ser igual a BXA.