¿El producto vectorial es una operación particular de R^3 o existe alguna generalización para R^n?

Es una pregunta muy interesante, por lo que la voy a responder. La respuesta es afirmativa, ya que existe la generalización que dices, y voy a mostrar la generalización que conozco: Se puede hacer esto en cualquier espacio vectorial con producto interno de dimensión finita.

Repasando un poco antes de responder:

Sea VV un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno ⟨,⟩⟨,⟩, y si el cuerpo de escalares es el cuerpo de los números complejos el producto interno cumple

1. Para todo α,β,γ∈Vα,β,γ∈V y para todo k∈Ck∈C se tiene ⟨α+kβ,γ⟩=⟨α,γ⟩+k⟨β,γ⟩⟨α+kβ,γ⟩=⟨α,γ⟩+k⟨β,γ⟩;
2. Para todo αα, ββ en VV, se tiene ⟨α,β⟩=⟨β,α⟩¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯⟨α,β⟩=⟨β,α⟩¯;
3. Para todo α∈Vα∈V se tiene ⟨α,α⟩>0⟨α,α⟩>0.

Por ejemplo el producto escalar, en R3R3, definido como

a∘b=a1ba+a2b2+a3b3a∘b=a1ba+a2b2+a3b3,

donde a=(a1,a2,a3)a=(a1,a2,a3) y b=(b1,b2,b3)b=(b1,b2,b3) es un caso particular de producto interno. Lo mismo, en CnCn, la función definida mediante

⟨(z1,z2,…,zn),(ω1,ω2,…,ωn)⟩=∑i=1nziω¯¯¯i⟨(z1,z2,…,zn),(ω1,ω2,…,ωn)⟩=∑i=1nziω¯i

también es un producto interno.

Un funcional lineal es una transformación lineal de la forma f:V⟶Kf:V⟶K, donde KK es el cuerpo de escalares que puede ser el conjunto de los números reales, el de los números complejos o cualquier otro conjunto con estructura de cuerpo. Es decir, ff es una función que cumple f(u+v)=f(u)+f(v)f(u+v)=f(u)+f(v) si uu y vv son vectores, y si kk es un escalar y uu un vector, f(ku)=kf(u)f(ku)=kf(u).

Si VV es un espacio con producto interno de dimensión finita, se conoce el siguiente teorema de conexión entre un funcional lineal arbitrario y el producto interno.

Teorema 1Teorema 1 Sea VV un espacio con producto interno de dimensión finita, y ff un funcional lineal definido en VV; entonces existe un único vector, zz, en VV tal que

f(x)=⟨x,z⟩f(x)=⟨x,z⟩

para todo xx en VV.

Como una curiosidad, este teorema es valido también en espacios de Hilbert arbitrarios, lo que se conoce como Lema de Riez.

Se procederá a realizar la generalización que se dijo al principio.

Si VV es un espacio con producto interno de dimensión finita, y si BB es una base de VV compuesta por nn vectores, se denotará como v¯v¯ el vector de coordenadas de v∈Vv∈V en la base BB escrito como vector de RnRn, luego si fijamos los vectores v1,v2,…,vn−1v1,v2,…,vn−1, y definimos la función gg mediante

g(ω)=det⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜v1¯v2¯⋯vn−1¯ω¯⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟g(ω)=det(v1¯v2¯⋯vn−1¯ω¯),

debido a las propiedades del determinante, la función gg es un funcional lineal definido en VV, y por el teorema 1 existe un vector, zz tal que g(v)=⟨v,z⟩g(v)=⟨v,z⟩. Se define entonces, en VV, el producto vectorial de n−1n−1 vectores

v1×v2×⋯×vn−1=zv1×v2×⋯×vn−1=z.

Es decir, para valores de nn diferentes de 3 ya no resulta en una operación binaria ya que hay más de dos vectores en el argumento. Por otra parte, si n=3n=3 y ⟨a,b⟩=a∘b⟨a,b⟩=a∘b es el producto escalar usual, se puede verificar fácilmente que el producto vectorial definido de esta forma, a×ba×b efectivamente es el producto vectorial conocido. Este producto conserva algunas de las propiedades del producto vectorial en R3R3 conocido como la anticonmutatividad, la distributividad con la suma, y es ortogonal a los vectores del argumento.