Si me dan la función potencial y me piden calcular el módulo del campo vectorial en un punto, ¿cómo lo calculo? El campo vectorial es el gradiente...

Suponiendo que se tiene la siguiente función escalar y que además esté en coordenadas cartesianas:

Φ(x,y,z)=ax2+y2+z2√Φ(x,y,z)=ax2+y2+z2

Donde: aa es un valor constante.

Al aplicar el operador nabla a una función escalar que depende de varias variables, se obtiene su gradiente, este gradiente es una función vectorial.

El operador nabla:

∇=∂∂xi^+∂∂yj^+∂∂zk^∇=∂∂xi^+∂∂yj^+∂∂zk^

Al aplicar este operador sobre un función escalar, se obtiene su gradiente:

∇Φ(x,y,z)=∂Φ∂xi^+∂Φ∂yj^+∂Φ∂zk^∇Φ(x,y,z)=∂Φ∂xi^+∂Φ∂yj^+∂Φ∂zk^

∇Φ(x,y,z)=−axx2+y2+z2√3i^−ayx2+y2+z2√3j^−azx2+y2+z2√3k^∇Φ(x,y,z)=−axx2+y2+z23i^−ayx2+y2+z23j^−azx2+y2+z23k^

∇Φ(x,y,z)=−a(x(x2+y2+z2)3/2i^+y(x2+y2+z2)3/2j^+z(x2+y2+z2)3/2k^)∇Φ(x,y,z)=−a(x(x2+y2+z2)3/2i^+y(x2+y2+z2)3/2j^+z(x2+y2+z2)3/2k^)

Al aplicar gradiente en el punto. P:(xo,yo,zo)P:(xo,yo,zo)

Simplemente se reemplaza los valores del punto P en el gradiente que se ha obtenido.

Si queremos módulo:

||∇Φ(x,y,z)||=?||∇Φ(x,y,z)||=?

=a2x2(x2+y2+z2)3+a2y2(x2+y2+z2)3+a2z2(x2+y2+z2)3−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=a2x2(x2+y2+z2)3+a2y2(x2+y2+z2)3+a2z2(x2+y2+z2)3

=a2(x2+y2+z2)(x2+y2+z2)3−−−−−−−−−√=a2(x2+y2+z2)(x2+y2+z2)3

=a2(x2+y2+z2)2−−−−−−−−√=a2(x2+y2+z2)2

=a|x2+y2+z2|=a|x2+y2+z2|

=ax2+y2+z2=ax2+y2+z2

Luego. El módulo del gradiente del potencial:

• En coordenadas cartesianas:

||∇Φ(x,y,z)||=ax2+y2+z2||∇Φ(x,y,z)||=ax2+y2+z2

• En coordenadas esféricas:

||∇Φ(r)||=ar2||∇Φ(r)||=ar2

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Se llega al mismo resultado, si primero el potencial se traslada a coordenadas esféricas. Dada la naturaleza de tipo central que tiene el potencial para este ejemplo, se puede trabajar en coordenadas esféricas.

El potencial en coordenadas cartesianas:

Φ(x,y,z)=ax2+y2+z2√Φ(x,y,z)=ax2+y2+z2

El potencial en coordenadas esféricas:

Φ(r)=arΦ(r)=ar

Aplicamos gradiente al potencial en coordenadas esféricas.

∇Φ(r)=−ar2r^∇Φ(r)=−ar2r^

Aplicamos módulo:

||∇Φ(r)||=ar2||∇Φ(r)||=ar2

Dos ejemplos:

El potencial que genera una carga positiva Q ( + ) está dado por la siguiente formula en coordenadas cartesianas:

Φ(x,y,z)=KQx2+y2+z2√Φ(x,y,z)=KQx2+y2+z2

Donde K: es la constante de Coulomb.

Si graficamos dicho potencial en función del radio vemos que decrece a medida que nos alejamos de la carga.

Suponiendo que esta gráfica represente un potencial que varía con la inversa del radio. Es una función que decrece a medida que el radio es mayor.

¿ Cómo debemos interpretar esto en forma geométrica ?

Debemos recordar que la variación del potencial se da en el espacio, es decir en las tres direcciones espaciales, que en coordenadas esféricas está representado por una sola variable independiente en lugar de tres variables que se usan en el sistema cartesiano. En el caso de coordenadas esféricas la única variable independiente es el radio. Entonces podemos imaginarnos que la función potencial es como una esfera, pero no una esfera compacta; sino como una especie de esfera difusa como si fuera neblina, ya que no tiene los bordes bien definidos, cuya densidad es máxima en la superficie de la carga generadora de campo, y que a medida que nos alejamos de la ubicación de la carga la densidad de esta esfera se hace cada vez menor.

Es la misma idea que se hace para poder tener una representación mental acerca de la forma de los orbitales s , p , d y f que se usan en los temas de configuración electrónica de acuerdo con la variación de |Ψ(r,θ,ϕ)|2|Ψ(r,θ,ϕ)|2 y en el caso que la función de onda solo dependa del radio, |Ψ(r)|2|Ψ(r)|2 se tienen orbitales esféricos tipo 's' . La forma que adquieren estos orbitales, es el resultado de aplicar la Ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas en tres dimensiones.

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Volviendo a nuestra función potencial, es máxima en la superficie generadora de carga y disminuye a medida que nos alejamos de dicha carga, hasta que a distancias muy grandes su valor es de un orden de magnitud muy pequeño, podemos decir que en el infinito el potencial de dicha carga es cero. También podemos decir que la carga genera un campo electrostático y el potencial es una expresión matemática que nos da la apariencia geométrica del alcance de dicha propiedad, o como dice en algunos libros la 'zona de influencia' en este caso el potencial está relacionado con la energía potencial que tiene una carga de prueba y con el trabajo que cuesta mover dicha carga de prueba dentro del campo generado por la carga principal.

Si aplicamos gradiente.

∇Φ(x,y,z)=−KQ(x(x2+y2+z2)3/2i^+y(x2+y2+z2)3/2j^+z(x2+y2+z2)3/2k^)∇Φ(x,y,z)=−KQ(x(x2+y2+z2)3/2i^+y(x2+y2+z2)3/2j^+z(x2+y2+z2)3/2k^)

El gradiente nos da la dirección de máximo crecimiento de la propiedad o magnitud que es objeto de estudio. Entonces si el potencial decrece a medida que nos alejamos, entonces es lógico que ese potencial aumente en la dirección contraria de la que decrece. En este caso aumenta a medida que nos acercamos a la ubicación en donde se encuentra la carga positiva generadora de campo electrostático.

Y el negativo del gradiente nos da la propiedad del campo que queremos medir.

E⃗ =−∇ΦE→=−∇Φ

En este caso:

E⃗ =KQ(x(x2+y2+z2)3/2i^+y(x2+y2+z2)3/2j^+z(x2+y2+z2)3/2k^)E→=KQ(x(x2+y2+z2)3/2i^+y(x2+y2+z2)3/2j^+z(x2+y2+z2)3/2k^) …………………(1a)

En este caso recibe el nombre de intensidad de campo eléctrico. En el caso de cargas estacionarias, el campo es electrostático, pero la magnitud igual recibe el nombre de intensidad de campo eléctrico y se designa mediante el símbolo E⃗ E→ y el producto qoE⃗ qoE→ nos da el valor de la fuerza electrostática a la que está siendo sometida la carga de prueba qoqo . En este caso

F⃗ =qoE⃗ F→=qoE→

Multiplicando por la carga de prueba qoqo en ambos lados de la igualdad (1a). Se obtiene la siguiente ecuación para la fuerza.

F⃗ =KQqo(x(x2+y2+z2)3/2i^+y(x2+y2+z2)3/2j^+z(x2+y2+z2)3/2k^)F→=KQqo(x(x2+y2+z2)3/2i^+y(x2+y2+z2)3/2j^+z(x2+y2+z2)3/2k^) ……………….(1b)

¿ Que significa esa expresión ?

Esa expresión significa que si se deja una carga de prueba qoqo en reposo, en la zona de influencia del campo electrostático, la expresión de la fuerza nos da la trayectoria que seguirá dicha carga de prueba, dicha trayectoria recibe el nombre de 'línea de fuerza' y las superficies en donde los potenciales son iguales reciben el nombre de 'superficies equipotenciales' .

Se cumple las siguientes propiedades:

-En un punto ubicado dentro de un campo eléctrico, el vector de dicho campo es único. No puede existir mas de un vector de campo eléctrico para dicho punto. En otras palabras, las líneas de fuerza no se cruzan.

-La dirección del vector intensidad de campo eléctrico es tangente a las líneas de fuerza.

-Las superficies equipotenciales 'cortan' a las líneas de fuerza en forma perpendicular.

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Para el ejemplo de potencial eléctrico:

Φ(r)=KQrΦ(r)=KQr

Aplicando gradiente:

∇Φ(r)=−(KQr2)r^∇Φ(r)=−(KQr2)r^

El campo eléctrico:

E⃗ =−∇ΦE→=−∇Φ

En este caso:

E⃗ =(KQr2)r^E→=(KQr2)r^

Pero:

F⃗ =qoE⃗ F→=qoE→

Luego:

F⃗ =(KQqor2)r^F→=(KQqor2)r^

Algunos textos usan la notación u^ru^r para referirse al vector unitario en la dirección radial, por lo que la ecuación anterior, también aparece escrita como:

F⃗ =(KQqor2)u^rF→=(KQqor2)u^r

Entonces, se ha demostrado la expresión de la Ley de Coulomb en coordenadas esféricas.

Como el vector unitario: r^r^ es igual al vector posición entre su módulo la expresión anterior algunas veces se encuentra escrita como:

F⃗ =KQqo|r|3r⃗ F→=KQqo|r|3r→

Se puede hacer lo mismo para otro tipo de potencial, como por ejemplo el potencial gravitatorio terrestre.

Trabajando directamente en coordenadas esféricas.

Φ(r)=−GMTrΦ(r)=−GMTr

Donde:

GG : contante universal de Newton

MTMT : Masa de la tierra.

Aplicando gradiente:

∇Φ(r)=GMTr2r^∇Φ(r)=GMTr2r^

El campo gravitatorio

g⃗ =−∇Φg→=−∇Φ

En este caso:

g⃗ =−(GMTr2)r^g→=−(GMTr2)r^

Pero:

F⃗ =mg⃗ F→=mg→

Luego:

F⃗ =−(GMTmr2)r^F→=−(GMTmr2)r^

La expresión anterior es la Ley de Gravitación Universal en coordenadas esféricas.

El vector unitario r^r^ apunta desde el centro del campo hacia afuera, la dirección del campo gravitatorio terrestre es en dirección contraria a este vector.

Como el vector unitario: r^r^ es igual al vector posición entre su módulo la expresión anterior algunas veces se encuentra escrita como:

F⃗ =−GMTm|r|3r⃗ F→=−GMTm|r|3r→

Respondiendo a la pregunta:

En este caso el módulo del campo gravitatorio, nos da el valor de aceleración de la gravead que adquiere un cuerpo dejado a una cierta distancia 'r' del centro de la Tierra.

En este caso: r=RT+hr=RT+h

RTRT : Radio terrestre

hh : Altura medida desde la superficie terrestre.

El campo gravitatorio está caracterizado por el siguiente vector:

g⃗ =−(GMTr2)r^g→=−(GMTr2)r^

Reemplazando:

g⃗ =−GMT(RT+h)2r^g→=−GMT(RT+h)2r^

Aplicando módulo:

g=|g⃗ |=GMT(RT+h)2g=|g→|=GMT(RT+h)2

El módulo de dicho campo nos da el valor de la aceleración de la gravedad, para ese punto o superficie equipotencial.

Para el caso de la ISS, que se encuentra orbitando a 400 Km sobre la superficie terrestre. Haciendo los cálculos, resulta que se encuentra en una superficie equipotencial donde g = 8.68205 m/s22

Es decir conserva el 88.5323 % del valor que tiene 'g' en la superficie terrestre, por lo que el valor de la aceleración de la gravedad solo se ha reducido en un 11.4677 %

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