Ejemplo5-5 algebra lineal

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Ejemplo 5.5:
Calcular los autovalores y los autovectores de
B =
 −1 0 −11 −1 1
0 0 −2

Solución.
pB(t) = det(B − tI3) =
∣∣∣∣∣∣
−1− t 0 −1
1 −1− t 1
0 0 −2− t
∣∣∣∣∣∣ = −(t+ 1)2(t+ 2).
Luego
pB(t) = 0 si y s’olo si t = −1 ’o t = −2.
Por lo que λ1 = −1 es un autovalor de B de multiplicidad algebraica 2 y λ2 = −2 es un
autovalor de B de multiplicidad algebraica 1.
Calculemos E−1, esto es, resolvamos el sistema (B + I3)
 xy
z
 =
 00
0

B + I3 =
 0 0 −11 0 1
0 0 −1
F1 ↔ F2→
 1 0 10 0 −1
0 0 −1
F2 → −F2→
 1 0 10 0 1
0 0 −1

F1 → F1 − F2→
F3 → F3 + F2
 1 0 00 0 1
0 0 0

Con lo que x = z = 0, aśı que xy
z
 =
 0y
0
 = y
 01
0

y
E−1 = gen

 01
0


Cualquier vector no nulo perteneciente a E−1 es un autovector de B asociado a λ1 = −1.
Ahora hallemos E−2, esto es, resolvamos el sistema (B + 2I3)
 xy
z
 =
 00
0

B + 2I3 =
 1 0 −11 1 1
0 0 0
F2 → F2 − F1→
 1 0 −10 1 2
0 0 0

Luego x = z y y = −2z, es decir
2
 xy
z
 =
 z−2z
z
 = z
 1−2
1

y
E−2 = gen

 1−2
1


Cualquier vector no nulo perteneciente a E−2 es un autovector de B asociado a λ2 = −2.
Vemos que la multiplicidad geométrica de cada uno de los autovalores de B es 1.