Clase 04 (Matrices) - Lissete Rivera Casavantes

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MATRICES
Econometría I
Pontificia Universidad Católica de Chile
INTRODUCCIÓN
¿Qué es una matriz?
Es una colección de números ordenados de forma abierta en un arreglo
rectangular, generalmente ordenados convenientemente para el
propósito que se necesite. En general vamos a decir que las matrices
contienen información, y esa información se ordena en los diferentes
elementos.
Su forma general es la siguiente:
donde n es el número de filas y k
el número de columnas.
Las dimensiones de una matriz son 
n,k.
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INTRODUCCIÓN
Algunas matrices típicas son:
Vector: matriz donde alguna de sus dimensiones es igual a uno.
Escalar: matriz de orden 1x1.
Matriz cuadrada: matriz donde el número de filas es igual al número
de columnas.
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INTRODUCCIÓN
Algunas matrices típicas son:
Matriz Triangular: matriz cuadrada
que tiene ceros encima o debajo de la
diagonal principal. Por ejemplo:
Matriz Diagonal: matriz cuadrada
cuyos elementos son todos ceros, salvo
la diagonal principal. Por ejemplo:
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INTRODUCCIÓN
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OPERACIONES BÁSICAS:
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OPERACIONES BÁSICAS:
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OPERACIONES BÁSICAS:
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OPERACIONES BÁSICAS:
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MULTIPLICACIÓN
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MULTIPLICACIÓN
Ejemplos:
Ejemplo 1:
Sea:
=
La post multiplicación por un vector v cualquiera es:
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MULTIPLICACIÓN
Ejemplos:
¿Cuál es la lógica de la multiplicación?
Ésta operación equivale a sumar los tres vectores de la matriz A usando
como ponderadores los números del vector v.
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MULTIPLICACIÓN
Ejemplos:
Llamémosle b a la matriz resultante.
¿Qué fue necesario para poder realizar la operación?
Conformabilidad, es decir, que el número de columnas de la primera
sea igual al número de filas de la segunda.
¿Por qué?
Porque necesito el mismo número de vectores que de ponderadores con
los cuales voy a combinar linealmente.
El producto tendrá tantas filas como filas tenían los vectores que se
combinaron y tantas columnas como combinaciones lineales se
realizaron.
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MULTIPLICACIÓN
Ejemplos:
Ejemplo 2:
En este caso, estamos realizando 2 combinaciones lineales distintas.
Ejemplo 3: multiplicación por un escalar.
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MULTIPLICACIÓN
15
MULTIPLICACIÓN
Productos típicos:
Suma de los elementos:
Sea:
¿Cuál es la intuición?
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MULTIPLICACIÓN
Productos típicos:
Suma de los elementos^2:
Sea:
¿Cuál es la intuición?
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INDEP. Y DEP. LINEAL
Dependencia Lineal:
Dos vectores son linealmente dependientes si uno de ellos fuese
múltiplo escalar del otro. Por ejemplo:
Sea:
a y b son linealmente dependientes, pues b = 2* a
Intuitivamente esto significa que b no aporta nueva información que la
ya conocemos en a, luego a es irrelevante.
Más generalmente, un vector y será linealmente dependiente de un
conjunto de vectores x, si y puede ser escrito como una combinación
lineal de uno o más vectores de x.
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INDEP. Y DEP. LINEAL
Independencia Lineal:
Dos matrices son linealmente independientes si no existe ninguna
combinación lineal posible de alguna, que dé como resultado la otra (si
tiene determinante no nulo).
La intuición de la independencia lineal de las columnas (filas) de una
matriz es que cada columna (fila) entrega nueva información respecto a
la anterior, por lo tanto todas las columnas (filas) son importantes.
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DETERMINANTE:
Determinante:
Es una función que asocia un número real a una matriz cuadrada.
Es más fácil entender este número geométricamente.
Por ejemplo, tomemos la matriz:
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DETERMINANTE:
21
DETERMINANTE:
¿Cuándo el determinante será cero?
Cuando los vectores no formen un área, es decir, cuando uno esté sobre
otro, sin necesariamente ser del mismo largo. Esto es sinónimo de decir
que uno sea la combinación lineal del otro, es decir cuando la
información de un vector está repetida en otro.
Conclusión:
El determinante de una matriz será no nulo (distinto de cero)
ssi. los vectores que la conforman son linealmente
independientes.
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DETERMINANTE:
23
DETERMINANTE:
Ejemplo:
Sea:
A =
24
DETERMINANTE:
Ejemplo:
Sea:
A =
25
DETERMINANTE:
Ejemplo (continuación):
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DETERMINANTE:
27
RANGO:
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CLICK
¿Indep. y dep. lineal, determinante y rango?
¿Cómo se relacionan estos conceptos?
Piense en la relación.
Será cierto qué (para matrices cuadradas):
rango completo independencia lineal determinante no nulo
rango incompleto dependencia lineal determinante nulo
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MATRIZ INVERSA:
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MATRIZ INVERSA:
31
EJERCICIOS
Problema 1: Obtener la inversa de la siguiente matriz:
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EJERCICIOS
Problema 1: Obtener la inversa de la siguiente matriz:
Solución:
Primero debemos ver si dicha inversa existe. Calculemos su
determinante:
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EJERCICIOS
El determinante es distinto de cero, por lo que podemos calcular la 
inversa de A.
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EJERCICIOS
Calculemos la matriz de cofactores:
Luego la transponemos y la dividimos por su determinante:
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones lineales típico puede ser representado de 
forma normal o de forma matricial:
Forma normal: 
Forma Matricial:
Queremos resolver las variables x e y de forma matricial, ¿CÓMO?
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Lo que buscamos es una despejar el vector x en función del resto de las
variables. Para esto utilizamos la matriz inversa:
Si A es de rango completo, es decir posee inversa única, podemos pre-
multiplicar la expresión anterior por y obtener el resultado
Donde la solución sería:
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones se define homogéneo cuando el vector b solo 
contiene ceros, es decir uno de la forma:
En este caso, si A posee inversa, la única solución al sistema de 
ecuaciones es
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VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS
¿Qué ocurre en el caso anterior si A no posee inversa? O dicho de otra
forma, ¿qué ocurre si sabemos que el vector x es no nulo? Un caso
implica al otro, es decir, si en un sistema de ecuaciones homogéneo
buscamos un vector de solución no nulo, A no puede ser de rango
completo, es decir no puede poseer inversa (única). Planteemos el
problema de la siguiente forma:
Descompongamos la matriz C de la siguiente manera:
Donde es un escalar. Re-ordenando tendríamos la siguiente expresión
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VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS
De la solución de este sistema de ecuaciones se obtienen los llamados 
valores característicos o propios, , y los vectores característicos o 
propios, x. Volviendo a la ecuación anterior, la única forma de que esta 
ecuación tenga una vector solución x no nulo es que C no tenga inversa, 
es decir, que el determinante de C sea cero:
La ecuación anterior, en función de la variable se denomina la ecuación 
característica. El valor de que soluciona dicha ecuación es el valor 
característico:
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VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS
De esta ecuación obtendremos dos valores característicos 1 y 2
Habiendo obtenido los valores característicos, los vectores característicos
se derivan del problema original:
Si lo desarrollamos:
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VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS
La solución a estas ecuaciones no será única, es decir, se obtendrá una
solución a x en función de y. Esto es lógico pues partimos de la premisa que
de existir una solución única ésta sería el vector nulo; como buscamos una
solución distinta, ésta no será única y de hecho puede tomar infinitos
valores.
A partir de los valores y vectores obtenidos, se definen dos matrices. La
matriz diagonal D reúne los valores característicos en su diagonal
principal, con ceros en el resto de la matriz; por otro lado, la matriz
denominada modal M agrupa los vectores característicos en el mismo
orden en el cual se colocaron los valores característicos en la matriz
diagonal:
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VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS
Estas dos matrices se relacionan con la matriz original de la siguiente
manera:
A esto se le llama la diagonalización de la matriz original. Algunas
propiedades adicionales muy interesantes de los valores y vectores
característicos y de estas matrices son las siguientes:
• El rango de una matriz es igual alnúmero de valores característicos no nulos de 
ella
• Consecuentemente, si algún valor propio de una matriz es igual a cero, esta 
matriz es no invertible.
• Los valores característicos de una matriz idempotente son sólo unos o ceros. Por 
ende, el rango de una matriz idempotente es igual al número de valores 
característicos iguales a uno.
• .
• .
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VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS
• .
• Los valores propios de la matriz A2 son el cuadrado de los valores propios de A.
• Los valores propios de A-1 son los inversos de los valores propios de A, los 
vectores propios son los mismos que los de A.
• Los valores propios de una matriz simétrica son reales, y no son necesariamente
todos distintos. Por otro lado, los vectores propios de una matriz simétrica son
ortogonales entre ellos, es decir,
• Utilizando propiedades anteriores y la diagonalización de la matriz original,
podemos obtener la llamada descomposición espectral de la matriz original:
A = MDM '
• En el caso de una matriz cualquiera que sólo tiene elementos distintos de cero en
su diagonal principal, dicha matriz elevada a n es igual a la misma matriz en
donde cada valor de su diagonal está elevado a n. Sea A una matriz cuadrada
cualquiera, es posible demostrar que: An = A*A*A….*A = M Dn M'
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DIFERENCIACIÓN MATRICIAL
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DIFERENCIACIÓN MATRICIAL
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EJEMPLO
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Axx
xx
xx
xx
xx
x
Axx
xxxxAxx
A
2
43
31
2
43
3
2
86
62'
64'
43
31
21
21
21
21
21
2
2
2
1

































Fuente:
• Gil, V (2007). Clases. Universidad Católica, Instituto de
Economía, Econometría I, 2009.
• Parra, A & Edwards, G. (2005). «Introducción al Algebra
Matricial», Universidad Católica, Instituto de Economía.
• Salas, C. (2010). Clases. «Algebra Matricial», Universidad
Católica, Instituto de Economía, Econometría I, 2010.
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