Repaso de Matrices e Álgebra Linear

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Instituto de Economía
Econometría I – EAE 250A
Juan Ignacio Urquiza – Segundo Semestre 2019
Repaso de Matrices
 Definiciones Básicas:
 Matriz Cuadrada, Diagonal, Identidad, etc…
 Operaciones Básicas:
 Suma, Multiplicación
 Transpuesta
 Inversa
 Independencia Lineal
 Diferenciación
 Vectores aleatorios Apéndice D - Wooldridge
Definiciones Básicas
 Definición de Matriz:
 Es un arreglo rectangular de números.
 Una matriz de orden m x n tiene m filas y n
columnas.
 Suelen representarse mediante letras mayúsculas.
Definiciones Básicas
 Definición de Matriz Cuadrada:
 Es una matriz que tiene el mismo número de filas
y columnas.
 Es decir, una matriz donde m = n.
 Ejemplos:
Definiciones Básicas
 Definición de Vector:
 Conjunto ordenado de números, dispuestos en
una fila o una columna.
 Vector fila: matriz de dimensión 1 x m.
 Ejemplo:
 Vector columna: matriz de dimensión n x 1.
 Ejemplo:
Definiciones Básicas
 Definición de Matriz Diagonal:
 Es una matriz cuadrada cuyos elementos fuera
de la diagonal son iguales a cero.
 Es decir, aij = 0 para todo i ≠ j.
 Ejemplo:
Definiciones Básicas
 Definición de Matriz Identidad (In):
 Es una matriz diagonal donde sus elementos no
nulos son iguales a 1.
 Es decir, aij = 1 para todo i = j.
 Ejemplo:
Operaciones Básicas
 Suma de Matrices:
 La suma de dos matrices A y B, de dimensión m
x n, es una matriz C de igual dimensión.
 La suma se lleva a cabo elemento por elemento.
 Más precisamente: C = A + B = [aij + bij] 
 Ejemplo:
Operaciones Básicas
 Multiplicación de una Matriz por un escalar:
 Consiste en la suma de una matriz con si misma 
k veces.
 Más precisamente: 
C = kA = [kaij] 
 Ejemplo:
Operaciones Básicas
 Multiplicación de Matrices:
 Para multiplicar la matriz A por la matriz B, la cantidad
de columnas de la matriz A debe ser igual al número de
filas de la matriz B (números en azul deben coincidir).
 Luego de multiplicar, la matriz resultante tendrá la
misma cantidad de filas que A y la misma cantidad de
columnas que B (ver números en rojo y verde).
 Ejemplo: (AB = C)
Operaciones Básicas
 Proceso de multiplicación: (AB = C)
donde:
Multiplicación de Matrices
 Propiedades:
 (α+β)A = αA + βA (distributiva de escalar)
 α(A+B) = αA + αB (distributiva de matriz)
 α(AB) = (αA)B (asociativa)
 A(B+C) = AB + AC
 (A+B)C = AC + BC
 IA = AI = A (elemento neutro)
 AB ≠ BA
Operaciones Básicas
 Matriz Transpuesta:
 La transpuesta de una matriz A se obtiene de
intercambiar sus filas por sus columnas.
 Es decir, A’ = [aji]
 Ejemplo:
Matriz Transpuesta
 Propiedades:
 (A’)’ = A
 (αA)’ = αA’
 (A+B)’ = A’ + B’
 (AB)’ = B’A’
 Matriz Simétrica:
Una matriz cuadrada A es simétrica si y sólo si
A’ = A.
Traza
 La traza de una matriz cuadrada A es igual a la
suma de los elementos de su diagonal.
 Formalmente: 
tr(A) = Σ aii
 Ejemplo: 
Traza
Propiedades:
 tr(In) = n 
 tr(A’) = tr(A) 
 tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
 tr(αA) = α tr(A) 
 tr(AB) = tr(BA)
Inversa
 La inversa de una matriz cuadrada A se denota
A–1, y viene dada por:
AA–1 = In o A
–1A = In
 En este caso, decimos que la matriz A es
invertible o no singular.
 Propiedades:
 (αA)–1 = (1/α)A–1
 (AB)–1 = B–1A–1
 (A’)–1 = (A–1)’
Independencia Lineal
 Sea {x1, x2, …, xr} un conjunto de vectores n x 1.
 Decimos que los vectores son linealmente
independientes si y sólo si la única solución a:
a1x1 + a2x2 + … + arxr = 0
es a1 = a2 = … = ar = 0.
 Intuitivamente, decir que son linealmente
dependientes implica que al menos un vector
puede escribirse como una combinación lineal de
los otros vectores.
Ejemplo
 Vectores linealmente independientes:
 A = (1, 0, 0)
 B = (0, 1, 0)
 C = (0, 0, 1) 
 Vectores linealmente dependientes:
 A = (2, -1, 1)
 B = (1, 0, 1)
 C = (3, -1, 2) 
No existe combinación lineal entre 
los vectores que permita obtener 
otro, por lo tanto, decimos que son 
linealmente independientes
Sí existe combinación lineal entre 
los vectores que permite obtener 
otro. Concretamente, si sumamos A 
y B, obtenemos el vector C, por lo 
tanto, decimos que son linealmente
dependientes
Rango
 Sea A una matriz n x m, entonces el rango de A
es el máximo número de columnas linealmente
independientes.
 Si A tiene dimensión n x m, y su rango es igual
a m, entonces decimos que A es de rango
completo.
 Propiedades:
 rank(A’) = rank(A)
 Si A es n x k, entonces rank(A) ≤ min(n,k)
 Si A es k x k, y rank(A)=k, entones A es invertible
Formas Cuadráticas
 Sea A una matriz simétrica.
 La forma cuadrática asociada a la matriz A viene
dada por la siguiente función definida para todo
vector x:
f(x) = x’Ax = 
 Ejemplo (calcular forma cuadrática asociada a A):
Formas Cuadráticas
 Para visualizar mejor, escribimos lo siguiente:
 De esta manera obtenemos:
Formas Cuadráticas
 Matriz semi-definida positiva/negativa:
 Método 1:
 Decimos que A es definida positiva si:
x’Ax > 0 para todo vector x excepto x = 0
 Decimos que A es semi-definida positiva si:
x’Ax ≥ 0 para todo vector x
Formas Cuadráticas
 Método 2 (análogo):
 Calculamos eigenvalues (autovalores):
 Buscamos todos los λ que satisfagan:
 Si todos los valores de λ son mayores o iguales a 
cero, la matriz A es semi-definida positiva.
 Si todos los valores de λ son menores o iguales a 
cero, la matriz A es semi-definida negativa.
Formas Cuadráticas
 Propiedades:
 Si A es definida positiva, entonces la suma de los
elementos de su diagonal es estrictamente positiva,
mientras que si A es semi-definida positiva dicha
suma es no negativa.
 Si A es definida positiva, entonces A–1 existe y es
también definida positiva.
 Si X es n x k, entonces X’X y XX’ son semi-definidas
positivas.
 Si X es n x k, y rank(X)=k, entonces X’X es definida
positiva y, por tanto, no singular.
Matriz Idempotente
 A es una matriz idempotente si y sólo si:
AA = A
 Propiedades:
Sea A una matriz simétrica e idempotente,
entonces:
 rank(A)=tr(A)
 A es semi-definida positiva
Diferenciación
 Sea a un vector n x 1, y considere la siguiente función 
lineal:
f(x) = a’x
para todo vector x (n x 1).
 Entonces, la derivada de f con respecto a x es igual a 
un vector (1 x n) con las derivadas parciales:
∂f(x)/∂x = a’
 Sea la siguiente forma cuadrática – A matriz simétrica:
g(x) = x’Ax
 Entonces,
∂g(x)/∂x = 2x’A vector 1 x n
Vectores Aleatorios
 Valor esperado:
 Si y es un vector n x 1 aleatorio, su valor esperado es
el vector de los valores esperados:
𝐸 𝒚 = 𝐸 𝑦1 , 𝐸 𝑦2 , … , 𝐸(𝑦𝑛) ′
 Si Z es una matriz aleatoria de n x m, E(Z) es la
matriz n x m de valores esperados:
𝐸 𝒁 = 𝐸(𝑧𝑖𝑗)
 Propiedad:
Si A es una matriz m x n y b un vector n x 1 ambos
no aleatorios, entonces 𝐸 𝑨𝒚 + 𝒃 = 𝑨𝐸 𝒚 + 𝑏.
Vectores Aleatorios
 Matriz varianza-covarianza:
 Si y es un vector n x 1 aleatorio, su matriz varianza-
covarianza Var(y) se define como:
𝑉𝑎𝑟 𝒚 =
𝜎1
2 𝜎12
𝜎21 𝜎2
2 ⋯
𝜎1𝑛
𝜎2𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝜎𝑛1 𝜎𝑛2 ⋯ 𝜎𝑛
2
donde 𝜎𝑗
2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑗) y 𝜎𝑖𝑗 = 𝐶𝑜𝑣 𝑦𝑖 , 𝑦𝑗 .
 Es decir, contiene las varianzas de cada elemento en
la diagonal, con las covarianzas fuera de la diagonal.
Vectores Aleatorios
 Matriz varianza-covarianza:
 Propiedades:
 𝑉𝑎𝑟 𝒚 = 𝐸 𝒚 − 𝝁 𝒚 − 𝝁 ′ , donde 𝝁 = 𝐸(𝒚).
Si a es un vector no aleatorio de n x 1, entonces
𝑉𝑎𝑟 𝒂′𝒚 = 𝒂′𝑉𝑎𝑟 𝒚 𝒂 ≥ 0.
Si A es una matriz m x n y b un vector n x 1 ambos
no aleatorios, entonces 𝑉𝑎𝑟 𝑨𝒚 + 𝒃 = 𝑨 𝑉𝑎𝑟 𝒚 𝑨′.