¿Cómo se transforman las componentes de un vector o campo vectorial, sus diferenciales y sus vectores de base, al pasar a un sistema cartesiano que...

A modo de ejemplo se va a ver el caso de transformación de un sistema cartesiano bidimensional a otro sistema cartesiano bidimensional, el cual ha sido rotado un cierto ángulo con respecto al primero.

Las coordenadas de un punto en el sistema rotado en función de las coordenadas del mismo punto que permanecen sin rotar estan dadas por:

[x′y′]=[cosθ−senθsenθcosθ][xy][x′y′]=[cosθsenθ−senθcosθ][xy]

Ahora necesitamos despejar las coordenadas sin rotar en función de las coordenadas rotadas, es simplemente.

Y estas vienen a ser relaciones directas, las cuales son:

[xy]=[cosθsenθ−senθcosθ][x′y′][xy]=[cosθ−senθsenθcosθ][x′y′] ……………..(E1)

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Analizando la Transformación de los Diferenciales:

Lo que sigue es obtener el diferencial total de cada una de las coordenadas iniciales a partir de las relaciones directas. ( No confundir el diferencial total con el diferencial de un producto. )

x=(cosθx′−senθy′)x=(cosθx′−senθy′)

y=(senθx′+cosθy′)y=(senθx′+cosθy′)

Hallando los diferenciales totales:

dx=∂x∂x′dx′+∂x∂y′dydx=∂x∂x′dx′+∂x∂y′dy

dy=∂y∂x′dx′+∂y∂y′dy′dy=∂y∂x′dx′+∂y∂y′dy′

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dr⃗ =∂r⃗ ∂x′dx′+∂r⃗ ∂y′dy′dr→=∂r→∂x′dx′+∂r→∂y′dy′

Reemplazando:

dx=cosθdx′−senθdy′dx=cosθdx′−senθdy′

dy=senθdx′+cosθdy′dy=senθdx′+cosθdy′

Hay que aclarar que estos diferenciales son lineales, en el sentido en que las partes que los componen se van sumando en la misma dirección.

Estas relaciones, se pueden colocar en forma ordenada en una relación matricial.

[dxdy]=[cosθsenθ−senθcosθ][dx′dy′][dxdy]=[cosθ−senθsenθcosθ][dx′dy′] …………………………(M1a)

Y si se quiere establecer la relación inversa entre los diferenciales se halla la matriz inversa de la anterior matriz de transformación

[dx′dy′]=[cosθ−senθsenθcosθ][dxdy][dx′dy′]=[cosθsenθ−senθcosθ][dxdy] ………………………….(M1b)

Y oh sorpresa, son las matrices dadas al inicio de esta respuesta. La razón de que suceda así es que al rotar el mismo sistema , la matriz de transformación es una matriz ortogonal y unitaria.

Entonces, lo que se ha hecho en ambas matrices es lo siguiente

[dxdy]=⎡⎣∂x∂x′∂y∂x′∂x∂y′∂y∂y′⎤⎦[dx′dy′][dx′dy′]=⎡⎣∂x′∂x∂y′∂x∂x′∂y∂y′∂y⎤⎦[dxdy][dxdy]=[∂x∂x′∂x∂y′∂y∂x′∂y∂y′][dx′dy′][dx′dy′]=[∂x′∂x∂x′∂y∂y′∂x∂y′∂y][dxdy]

Si queremos usar la notación sumatoria, para indicar ambas transformaciones, se escribiría de la siguiente forma.

dxi=∑j=12∂xi∂x¯jdx¯jdx¯j=∑i=12∂x¯j∂xidxidxi=∑j=12∂xi∂x¯jdx¯jdx¯j=∑i=12∂x¯j∂xidxi

Para cada valor de ii en el primer caso y para cada valor de jj en el segundo caso.

Se está usando la notación dxidxi para referirse a los diferenciales en coordenadas cartesianas sin rotar y se está usando la notación dx¯jdx¯j para referirse a los diferenciales de las coordenadas que han sido rotadas un ángulo con respecto a las primeras.

Pero esa es justamente la relación entre las coordenadas de un tensor contravariante de primer orden cuando se hace una transformación de un sistema a otro.

En notación matricial:

[AxAy]=⎡⎣∂x∂x′∂y∂x′∂x∂y′∂y∂y′⎤⎦[Ax′Ay′][Ax′Ay′]=⎡⎣∂x′∂x∂y′∂x∂x′∂y∂y′∂y⎤⎦[AxAy][AxAy]=[∂x∂x′∂x∂y′∂y∂x′∂y∂y′][Ax′Ay′][Ax′Ay′]=[∂x′∂x∂x′∂y∂y′∂x∂y′∂y][AxAy] …………(M1c)

En notación sumatoria:

Ai=∑j=12∂xi∂x¯jA¯jA¯j=∑i=12∂x¯j∂xiAiAi=∑j=12∂xi∂x¯jA¯jA¯j=∑i=12∂x¯j∂xiAi

Para cada valor de ii en el primer caso y para cada valor de jj en el segundo caso.

Pero de acuerdo al convenio de índices repetidos, se puede prescindir de los símbolos sumatoria para expresar la misma relación.

Ai=∂xi∂x¯jA¯jA¯j=∂x¯j∂xiAiAi=∂xi∂x¯jA¯jA¯j=∂x¯j∂xiAi

Para cada valor de ii en el primer caso y para cada valor de jj en el segundo caso. Relación que es válida ya sea que los sistemas sean bidimensionales, tridimensionales o de más dimensiones.

Luego:

Los diferenciales al pasar de un sistema de coordenadas a otro que ha sido rotado se transforman igual que las componentes de un tensor contravariante de primer orden.

Las componentes contravariantes de un campo tensorial, son los elementos que acompañan a los vectores de base de la forma e⃗ ie→i. Las componentes ( a secas ) son los elementos que acompañan a los respectivos vectores unitarios e^ie^i de un sistema de coordenadas curvilíneo.

En este caso para las componentes contravariantes

A⃗ =Ax′e⃗ x′+Ay′e⃗ y′A→=Ax′e→x′+Ay′e→y′

En este caso, los vectores de base son unitarios, por lo que se cumple.

A⃗ =Ax′e^x′+Ay′e^y′A→=Ax′e^x′+Ay′e^y′

Los vectores e^x′e^x′ y e^x′e^x′ son los vectores unitarios i^i^ y j^j^ que han sido rotados un cierto ángulo, por lo tanto se mantiene la ortogonalidad y el caracter unitario de estos vectores. Es decir:

A⃗ =Ax′i^′+Ay′j^′A→=Ax′i^′+Ay′j^′

Transformación de los vectores de base:

Un campo vectorial es una función de tipo vectorial en donde cada una de sus componentes depende de una o mas variables. La función vectorial de variable vector mas elemental es la función radio vector. La cual en un sistema cartesiano bidimensional, se escribiría así

r⃗ =x1e⃗ 1+x2e⃗ 2r→=x1e→1+x2e→2 ……………(1a)

Pero como en coordenadas cartesianas se cumple: xi=xixi=xi además e⃗ i=e^ie→i=e^i en este caso para i = 1,2.

r⃗ =x1e^1+x2e^2r→=x1e^1+x2e^2 ……………(1b)

Es decir:

r⃗ =xi^+yj^r→=xi^+yj^ ……………………….(1c)

Las relaciones directas dadas inicialmente son:

x=cosθx′−senθy′x=cosθx′−senθy′ ………………..(2a)

y=senθx′+cosθy′y=senθx′+cosθy′ ………………….(2b)

Usamos estas relaciones directas para armar nuestro vector posición en otro sistema de coordenadas.

Reemplazando las relaciones (2a) y (2b) en (1c).

r⃗ =(cosθx′−senθy′)i^+(senθx′+cosθy′)j^r→=(cosθx′−senθy′)i^+(senθx′+cosθy′)j^…………………………(1d)

Ahora lo que hay que hacer es derivar este vector, con respecto a cada una de las 'nuevas coordenadas' , que en este caso corresponde a las coordenadas que han rotado un cierto ángulo con respecto al sistema original, el cual permanece sin rotar. Al hacer esto lo que se está haciendo precisamente es hallar los nuevos vectores de base, los cuales si se dividen entre sus módulos respectivos, se obtiene los respectivos vectores unitarios.

e⃗ x′=i^′=∂r⃗ ∂x′=∂x∂x′i^+∂y∂x′j^e→x′=i^′=∂r→∂x′=∂x∂x′i^+∂y∂x′j^

e⃗ y′=j^′=∂r⃗ ∂y′=∂x∂y′i^+∂y∂y′j^e→y′=j^′=∂r→∂y′=∂x∂y′i^+∂y∂y′j^

Reemplazando los valores de las derivadas parciales:

e⃗ x′=i^′=∂r⃗ ∂x′=cosθi^+senθj^e→x′=i^′=∂r→∂x′=cosθi^+senθj^

e⃗ y′=j^′=∂r⃗ ∂y′=−ρsenθi^+cosθj^e→y′=j^′=∂r→∂y′=−ρsenθi^+cosθj^

Hay que aclarar que estos vectores de base, a cada uno de los sumandos que aparecen aquí se van sumando vectorialmente en direcciones distintas, la dirección está dada en este caso por los vectores de base i^i^ y j^j^.

Igual que en el caso anterior, estos resultados se pueden colocar en forma ordenada un una relación matricial.

[i^′j^′]=[cosθ−senθsenθcosθ][i^j^][i^′j^′]=[cosθsenθ−senθcosθ][i^j^] …………………………..(M2a)

Y si se quiere establecer las relaciones inversas, se puede hallar la inversa de la matriz anterior o también obtener las derivadas parciales a partir de las relaciones inversas dadas al inicio de esta respuesta.

[i^j^]=[cosθsenθ−senθcosθ][i^′j^′][i^j^]=[cosθ−senθsenθcosθ][i^′j^′] ………………………….(M2b)

Lo que se ha hecho en ambas matrices es lo siguiente:

[i^′j^′]=⎡⎣∂x∂x′∂x∂y′∂y∂x′∂y∂y′⎤⎦[i^j^][i^j^]=⎡⎣∂x′∂x∂x′∂y∂y′∂x∂y′∂y⎤⎦[i^′j^′][i^′j^′]=[∂x∂x′∂y∂x′∂x∂y′∂y∂y′][i^j^][i^j^]=[∂x′∂x∂y′∂x∂x′∂y∂y′∂y][i^′j^′]

Si queremos usar la notación sumatoria, para indicar ambas transformaciones, se escribiría de la siguiente forma.

e¯⃗ j=∑i=12∂xi∂x¯je⃗ ie⃗ i=∑j=12∂x¯j∂xie¯⃗ je¯→j=∑i=12∂xi∂x¯je→ie→i=∑j=12∂x¯j∂xie¯→j

Para cada valor de jj en el primer caso y para cada valor de ii en el segundo caso.

Se está usando la notación e⃗ ie→i para referirse a los vectores unitarios en coordenadas cartesianas sin rotar y se está usando la notación e¯⃗ je¯→j para referirse a los vectores unitarios de cualquier otro sistema de coordenadas que ha sido rotado un cierto ángulo con respecto al sistema cartesiano original.

Pero esa es justamente la relación entre las coordenadas de un tensor covariante de primer orden cuando se hace una transformación de un sistema a otro.

A¯j=∑i=12∂xi∂x¯jAiAi=∑j=12∂x¯j∂xiA¯jA¯j=∑i=12∂xi∂x¯jAiAi=∑j=12∂x¯j∂xiA¯j

Para cada valor de jj en el primer caso y para cada valor de ii en el segundo caso.

Pero de acuerdo al convenio de índices repetidos, se puede prescindir de los símbolos sumatoria para expresar la misma relación.

A¯j=∂xi∂x¯jAiAi=∂x¯j∂xiA¯jA¯j=∂xi∂x¯jAiAi=∂x¯j∂xiA¯j

Para cada valor de jj en el primer caso y para cada valor de ii en el segundo caso. Relación que es válida ya sea que los sistemas sean bidimensionales, tridimensionales o de más dimensiones.

Luego:

Los vectores de base al pasar de un sistema de coordenadas curvilíneo a otro se transforman igual que las componentes de un tensor covariante de primer orden.

Se ha demostrado como se transforman los diferenciales de coordenadas y los vectores de base respectivamente.

Falta demostrar el comportamiento del diferencial de vector posición.

El vector posición en un sistema de coordenadas cartesianas puede representarse como:

r⃗ =x1e⃗ 1+x2e⃗ 2+x3e⃗ 3r→=x1e→1+x2e→2+x3e→3

Si se trabaja con solo 2 dimensiones:

r⃗ =xi^+yj^r→=xi^+yj^

r⃗ =(cosθx′−senθy′)i^+(senθx′+cosθy′)j^r→=(cosθx′−senθy′)i^+(senθx′+cosθy′)j^

Diferenciando:

dr⃗ =dx′∂r⃗ ∂x′+dy′∂r⃗ ∂y′dr→=dx′∂r→∂x′+dy′∂r→∂y′

Cada uno de los diferenciales es un vector de base:

dr⃗ =dx′i^′+dy′j^′dr→=dx′i^′+dy′j^′ ………..(3a)

Que ya se obtuvo anteriormente en la relación ( M2a)

La relación (3a) puede escribirse como:

dr⃗ =[dx′dy′][i^′j^′]dr→=[dx′dy′][i^′j^′] …..(3b)

Reemplazando los vectores unitarios i^′i^′ y j^′j^′ en (3b)

dr⃗ =[dx′dy′][cosθ−senθsenθcosθ][i^j^]dr→=[dx′dy′][cosθsenθ−senθcosθ][i^j^] ……………………(3c)

El mismo producto, también puee ser escrito como:

dr⃗ =[i^j^][cosθsenθ−senθcosθ][dx′dy′]dr→=[i^j^][cosθ−senθsenθcosθ][dx′dy′] ……………………(3d)

De acuerdo con la relación (M1a)

dr⃗ =[i^j^][dxdy]dr→=[i^j^][dxdy] ……………………(3e)

Finalmente:

dr⃗ =dxi^+dyj^dr→=dxi^+dyj^

Luego. Se ha demostrado la equivalencia entre:

dr⃗ =dx′i^′+dyj^′dr→=dx′i^′+dyj^′ y

dr⃗ =dxi^+dyj^dr→=dxi^+dyj^

Cuando se evalúa una función vectorial en algún punto de un espacio vectorial lo que se obtiene es un vector, de igual modo cuando al evaluar una función ordinaria en algún punto de su dominio lo que se obtiene es un número.

Para ver como se transforman las componentes vamos con el siguiente caso:

Sea la función vectorial dada por:

A⃗ =Axi^+Ayj^A→=Axi^+Ayj^

Se puede escribir de la siguiente manera:

A⃗ =[AxAy][i^j^]A→=[AxAy][i^j^]

Reemplazando los valores de i^i^ y j^j^ según (M2b)

A⃗ =[AxAy][cosθsenθ−senθcosθ][i^′j^′]A→=[AxAy][cosθ−senθsenθcosθ][i^′j^′]

La misma ecuación puede escribirse como:

A⃗ =[i^′j^′][cosθ−senθsenθcosθ][AxAy]A→=[i^′j^′][cosθsenθ−senθcosθ][AxAy]

De acuerdo con las relaciones en (M1c)

A⃗ =[i^′j^′][Ax′Ay′]A→=[i^′j^′][Ax′Ay′]

A⃗ =Ax′i^′+Ay′j^′A→=Ax′i^′+Ay′j^′