654513382-Algebra-Lineal-Tarea-4-Espacios-Vectoriales-2023-2

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CLASE: algebra lineal
Trabajo 
PRACTICA 
GRUPO:8105
NOMBRE DEL PROFESOR: ALBERTO HIGUERA GARCIA
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO
 
FECHA DE ENTREGA: SEPTIEMBRE DEL 2021
Álgebra Lineal 
Tarea 4 Espacios vectoriales 
 
Ejercicio 1: conceptualización de espacios vectoriales. 
Después de haber realizado la lectura de los contenidos indicados, presentar de forma individual en el foro un Mapa conceptual en el que se ilustre los siguientes conceptos: A. Los diferentes axiomas que cumple el espacio vectorial 𝑹 𝟑 . 
B. Los diferentes subespacios del espacio vectorial 𝑹 𝟑 . 
C. Las diferentes bases del espacio vectorial 𝑹 𝟑 . 
D. El espacio columna y el espacio fila de una matriz 𝟑 × 𝟑. 
E. El Rango y la nulidad de una matriz 𝟑 × 𝟑. 
 
Utilice para su construcción Cmaptools, GoConqr, PowerPoint o cualquier otra herramienta para el desarrollo de esquemas mentales; debe compartirlo en el foro de discusión en formato de imagen (*.jpg, *.bmp, etc) e incluirlo en el trabajo individual que se presenta en el entorno de evaluación. 
 
Ejercicio 2. Axiomas y propiedades de los espacios vectoriales. Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente a la literal seleccionada en el foro: 
 
	 
	Literal a seleccionar 
	Ejercicio para desarrollar 
	Cada estudiante selecciona y desarrolla una letra 
	A. 
	Dados los vectores ⃗𝒖⃗ = (4,2,−5) ⃗𝒗⃗ = (2,−7,1) y ⃗𝒘⃗⃗ = (5,−6,2) verifique si se cumple los axiomas: 
I) 𝑢⃗ + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢⃗ 
II) 𝑢⃗ +( −𝑢⃗ ) = ( −𝑢⃗ )+ 𝑢⃗ = ⃗0 
III) 𝑢⃗ +( 𝑣 + 𝑤⃗⃗ ) = (𝑢⃗ +𝑣 )+𝑤⃗⃗ 
	
	B. 
	Dados los vectores ⃗𝒖⃗ = (−3,1,8) y ⃗𝒗⃗ = (−7,5,7) para ⃗𝒘⃗⃗ = (5,−6,2) verifique si se cumple los axiomas: 
I) 𝜆𝜆 𝑣 
II) 𝑢⃗ 
III) 𝜆 
	
	C. 
	Dados los vectores ⃗𝒖⃗ 	 y 	 y los escalares 
𝜆 = 8 y 𝛽 = 2 verifique si se cumple los axiomas: 
I) 𝑢⃗ 𝑢⃗ 
II) 𝜆	⃗⃗⃗𝑣 
III) 	𝑣 
	
	D. 
	Dados los vectores 	 y 	, y los escalares 
𝜆	y 	 verifique si se cumple los axiomas: 
I) 𝜆𝜆𝑣 
II) 𝑢⃗ 	 
III) 	 
	 
	E. 
	 
Dados los vectores ⃗𝒖⃗ = (−8,−2,7) y ⃗𝒗⃗ = (5,−3,7), y ⃗𝒘⃗⃗ = −6,8,4 verifique si se cumple los axiomas: 
	
	
	I) 𝑢⃗ +𝑣 = 𝑣 +𝑢⃗ 
II) 𝑢⃗ +(−𝑢⃗ ) = (𝑢⃗ )+𝑢⃗ = ⃗0 
III) (𝑢⃗ +𝑣 )+𝑤⃗⃗ = 𝑢⃗ +(𝑣 +𝑤⃗⃗ ) 
 
Ejercicio 3: Conjuntos Generadores, dependencia lineal e independencia lineal. 
 Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente al literal seleccionado previamente. 
• Determine si el conjunto 𝑆 de vectores correspondiente es linealmente independiente. Si para alguno de ellos la respuesta puede determinarse por inspección (esto es, sin cálculo), establezca porqué. Para cualquier conjunto que sea linealmente dependiente, encuentre una relación de dependencia entre los vectores. • Determine si el conjunto 𝑆 genera a ℝ3 
 
	Literal a Seleccionar 
	Conjunto 𝑺 a evaluar: 
	A. 
	𝑆 = {(1, 4,1), (2,4,6), (1,−1,2)} 
	B. 
	𝑆 = {(2,2,4), (2,1,3), (2,0,1)} 
	C. 
	𝑆 = {(2, 0, 0), (0,1,1), (1,0,0)} 
	D. 
	𝑆 = {(0, 2, 0), (0,-2,0), (0,-6,0)} 
	E. 
	𝑆 = {(0, 2, 0), (0,-2,0), (0,-6,0)} 
Ejercicio 4: Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal. 
	Cada estudiante selecciona y desarrolla una solo literal. 
	Literal a seleccionar 
	Tema para trabajar 
	
	
	 
	A. 
	Dada la siguiente matriz: 
	6	0	5	0
	−7	4	−1 −6
	𝐴 = (	) 
	5	0	1	4
	0	−3	0	8
1. Calcular el rango de la matriz 𝑨 por el método de Gauss Jordán. 
2. Calcular el rango de la matriz 𝑨 por el método de determinantes. 
3. Determine si el conjunto formado por las columnas de la matriz 𝑨 es linealmente independiente. 
	 
	B. 
	Dada la siguiente matriz: 
	2	0	4	0
	0	4	−1 −2
	𝐵 = (	) 
	5	1	1	−4
	0 −1	1	1
1. Calcular el rango de la matriz 𝐵 por el método de Gauss --Jordán 
2. Calcular el rango de la matriz 𝐵 por el método de determinantes 
3. Determine si el conjunto formado por las columnas de la matriz 𝐵 es linealmente independiente. 
	 
	C. 
	Dada la siguiente matriz: 
	3	0	3
1 6	−1
	𝐶 = (	) 
2 2	2
	0 −1	1
1. Calcular el rango de la matriz 𝐶 por el método de Gauss --Jordán 
2. Calcular el rango de la matriz 𝐶 por el método de determinantes. 
3. Determine si el conjunto formado por las columnas de la matriz 𝐶 es linealmente independiente. 
	 
	D. 
	Dada la siguiente matriz: 
3 0	0
	−1	2	−3
	𝐷 = (	) 
4 0	4
	0	−3	8
1. Calcular el rango de la matriz 𝐶 por el método de 
Gauss --Jordán 
2. Calcular el rango de la matriz 𝐵 por el método de determinantes 
3. Determine si el conjunto formado por las columnas de la matriz 𝐷 es linealmente independiente. 
	 
	E. 
	Dada la siguiente matriz: 
1 1 1
𝐸 = (0 1 2) 
0 0 0
1. Calcular el rango de la matriz 𝐸 por el método de Gauss Jordán 
2. Calcular el rango de la matriz 𝐸 por el método de determinantes 
3. Determine si el conjunto formado por las columnas de la matriz 𝐸 es linealmente independiente. 
Ejercicio 5 Cada estudiante debe desarrollar la demostración correspondiente al literal seleccionado previamente: 
 
	Cada estudiante selecciona y desarrolla un (1) sólo litera 
	Ítem a seleccionar 
	Tema para trabajara 
	
	A. 
	Sean 𝑢⃗ y 𝑣 vectores en 	3. Demuestre que 
 
	
	B. 
	Sean 𝑢⃗ y 𝑣 y 𝑤⃗⃗ vectores en 	3. Demuestre que 
𝑢⃗ (𝑣 ×𝑤⃗⃗ ) 𝑤⃗⃗ 
	
	C. 
	Sean 𝑢⃗ y 𝑣 vectores en 	3. Demuestre que 
𝑢⃗ ×𝑣 (𝑣 ×𝑢⃗ ) 
	
	D. 
	Sean 𝒖, 𝒗 y 𝒘 vectores en 	3. Demuestre que 
𝑢⃗ ×(𝑢⃗ ×𝑤⃗⃗ ) 
	
	E. 
	Sean 	 vectores en 	3. Demuestre que 
 
Ejercicio 6: (Ejercicio Colaborativo de Equivalencia de Conceptos). 
Todos los integrantes del grupo deberán resolver el ejercicio correspondiente a su literal y luego realizar el aporte en el foro. Cada uno de los integrantes debe responder la pregunta que se presenta al final. 
Considere las siguientes matrices: 
	1
𝐴 = (0
0
 
	−1
3
0
	2	1
4); B= (1
9	3
	−1
2
6
	0
3) 
9
A. Verifique que, para cada 𝑏⃗ = (𝑏1,𝑏2,𝑏3)𝑇 en 𝑅3 la ecuación ⃗𝐴𝑥⃗⃗⃗⃗ = 𝑏⃗ , donde 𝑥 = (𝑥1,𝑥2,𝑥3)𝑇 tiene solución. Compruebe que existe un vector 𝑐 = (𝑐1,𝑐2,𝑐3)𝑇 en 𝑅3 en el que la ecuación 
⃗𝐵𝑥⃗⃗⃗⃗ = 𝑐 no tiene solución. 
B. Verifique que cualquier vector 𝑏⃗ = (𝑏1,𝑏2,𝑏3)𝑇 en 𝑅3 se puede expresar como combinación lineal de los vectores columna de la matriz 𝑨. Compruebe que existe un vector 𝑐 = (𝑐1,𝑐2,𝑐3)𝑇 en 𝑅3 que no se puede expresar como combinación lineal de los vectores columna de la matriz 𝑩. C. Verifique que el conjunto formado por los vectores columna de la matriz 𝑨 genera todo el espacio 𝑅3 . Compruebe que el conjunto formado por los vectores columna de la matriz 𝑩 no genera todo el espacio 𝑅3 . 
D. Verifique que al realizar operaciones elementales sobre la matriz 𝑨 siempre se obtiene una posición pivote en cada fila. Compruebe que al realizar operaciones elementales sobre la matriz 𝑩 no se obtiene una posición pivote en cada fila. 
E. Enuncie un teorema matemático donde se consolide las equivalencias lógicas de los enunciados anteriores. ¿El teorema se puede extender para matrices de otro tamaño? 
Pregunta para todos: ¿Qué se puede concluir de las equivalencias lógicas que se presentan en los enunciados de los literales A, B, C y D? 
 	 
Ejercicio 2. Axiomas y propiedades de los espacios vectoriales. 
 
Verificaremos el primer axioma. 
Observamos que ambos vectores término a término son iguales, por ende, se comprueba el axioma. 
Ahora si procedemos a comprobar el axioma: 
 
Ejercicio 4: Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal. 
 
1. Rango de la matriz por el método Gauss Jordán. 
Se puede observar que dicha matriz ya se encuentra en su forma escalonada, por ende, es correcto afirmar que su rango es 2, puesto que tiene una fila nula, es decir, igual a cero. 
2. Rango de la matriz por el método determinantes.Procedemos a hallar el determinante: 
Algo que debe tenerse en cuenta es lo siguiente: 
Si la dimensión de la base es menor que la dimensión del conjunto, el conjunto es linealmente dependiente, de lo contrario es linealmente independiente. 
Sabemos que la dimensión de la base es 2, y la dimensión del conjunto es 3, por ende, existe un vector linealmente dependiente y el conjunto es linealmente dependiente.