¿Cómo se transforman las componentes de un vector o campo vectorial, sus diferenciales y sus vectores de base al pasar de un sistema cartesiano...

Ejemplo de un sistema no ortogonal:

Se tiene el siguiente sistema oblicuo de ejes coordenados en los cuales los ejes no forman un ángulo de 90° El ángulo que forman estos ejes está dado por: 90° - ϕϕ. Un punto P tiene las coordenadas en el sistema ortogonal P : ( x, y ) y ese mismo punto tiene sus coordenadas en el sistema oblicuo dado por P : ( x' , y' ). Se pide hallar las formulas de transformación para los diferenciales y los vectores de base.

Solución:

De manera a como se deducen las fórmulas de transformación para un sistema que ha sido rotado con respecto a un sistema que permanece sin rotar. Aquí también se hará una deducción similar. Aquí las formulas de transformación son pasar de un sistema ortogonal ( cuyos ejes forman 90°) a un sistema que ha sido contraído un ángulo ϕ, por lo tanto el ángulo que forman los ejes de este nuevo sistema contraído será ( 90° - ϕ ).

Es fácil darse cuenta que las coordenadas del punto P:(x,y)P:(x,y) en función de las coordenadas P:(x′,y′)P:(x′,y′) serán:

xy=x′+senϕy′=0+cosϕy′}⋯⋯(E1)x=x′+senϕy′y=0+cosϕy′}⋯⋯(E1)

Las cuales podemos poner en una matriz de transformación. Entonces los valores dados para el mismo punto en los dos sistemas de coordenadas estará dado por:

[xy]=[10senϕcosϕ][x′y′][xy]=[1senϕ0cosϕ][x′y′]

Y si queremos expresar las coordenadas del sistema contraído x' , y' en función de las coordenadas del sistema sin contraer, solamente hay que tomar la matriz inversa de la matriz de transformación resultando lo siguiente:

[x′y′]=[10−tanϕsecϕ][xy][x′y′]=[1−tanϕ0secϕ][xy]

Analizando la Transformación de los Diferenciales:

Lo que sigue es obtener el diferencial total de cada una de las coordenadas iniciales a partir de las relaciones directas. ( No confundir el diferencial total con el diferencial de un producto. )

x=(x′+senϕy′)x=(x′+senϕy′)

y=(cosϕy′)y=(cosϕy′)

Hallando los diferenciales totales:

dx=∂x∂x′dx′+∂x∂y′dy′dx=∂x∂x′dx′+∂x∂y′dy′

dy=∂y∂x′dx′+∂y∂y′dy′dy=∂y∂x′dx′+∂y∂y′dy′

——————————————

dr⃗ =∂r⃗ ∂x′dx′+∂r⃗ ∂y′dy′dr→=∂r→∂x′dx′+∂r→∂y′dy′

Reemplazando:

dx=1dx′+senϕdy′dx=1dx′+senϕdy′

dy=cosϕdy′dy=cosϕdy′

Hay que aclarar que estos diferenciales son lineales, en el sentido en que las partes que los componen se van sumando en la misma dirección.

Estas relaciones, se pueden colocar en forma ordenada en una relación matricial.

[dxdy]=[10senϕcosϕ][dx′dy′][dxdy]=[1senϕ0cosϕ][dx′dy′] …………………………(M1a)

Y si se quiere establecer la relación inversa entre los diferenciales se halla la matriz inversa de la anterior matriz de transformación

[dx′dy′]=[10−tanϕcosϕ][dxdy][dx′dy′]=[1−tanϕ0cosϕ][dxdy] ………………………….(M1b)

Entonces, lo que se ha hecho en ambas matrices es lo siguiente

[dxdy]=⎡⎣∂x∂x′∂y∂x′∂x∂y′∂y∂y′⎤⎦[dx′dy′][dx′dy′]=⎡⎣∂x′∂x∂y′∂x∂x′∂y∂y′∂y⎤⎦[dxdy][dxdy]=[∂x∂x′∂x∂y′∂y∂x′∂y∂y′][dx′dy′][dx′dy′]=[∂x′∂x∂x′∂y∂y′∂x∂y′∂y][dxdy]

Si queremos usar la notación sumatoria, para indicar ambas transformaciones, se escribiría de la siguiente forma.

dxi=∑j=12∂xi∂x¯jdx¯jdx¯j=∑i=12∂x¯j∂xidxidxi=∑j=12∂xi∂x¯jdx¯jdx¯j=∑i=12∂x¯j∂xidxi

Para cada valor de ii en el primer caso y para cada valor de jj en el segundo caso.

Se está usando la notación dxidxi para referirse a los diferenciales en el sistema de coordenadas cartesianas ortogonales y se está usando la notación dx¯jdx¯j para referirse a los diferenciales de las coordenadas que han sido contraídas un ángulo con respecto al sistema ortogonal

Pero esa es justamente la relación entre las coordenadas de un tensor contravariante de primer orden cuando se hace una transformación de un sistema a otro.

En notación matricial

[AxAy]=⎡⎣∂x∂x′∂y∂x′∂x∂y′∂y∂y′⎤⎦[Ax′Ay′][Ax′Ay′]=⎡⎣∂x′∂x∂y′∂x∂x′∂y∂y′∂y⎤⎦[AxAy][AxAy]=[∂x∂x′∂x∂y′∂y∂x′∂y∂y′][Ax′Ay′][Ax′Ay′]=[∂x′∂x∂x′∂y∂y′∂x∂y′∂y][AxAy] ……….(M1c)

En notación sumatoria:

Ai=∑j=12∂xi∂x¯jA¯jA¯j=∑i=12∂x¯j∂xiAiAi=∑j=12∂xi∂x¯jA¯jA¯j=∑i=12∂x¯j∂xiAi

Para cada valor de ii en el primer caso y para cada valor de jj en el segundo caso.

Pero de acuerdo al convenio de índices repetidos, se puede prescindir de los símbolos sumatoria para expresar la misma relación.

Ai=∂xi∂x¯jA¯jA¯j=∂x¯j∂xiAiAi=∂xi∂x¯jA¯jA¯j=∂x¯j∂xiAi

Para cada valor de ii en el primer caso y para cada valor de jj en el segundo caso. Relación que es válida ya sea que los sistemas sean bidimensionales, tridimensionales o de más dimensiones.

Luego:

Los diferenciales al pasar de un sistema de coordenadas a otro que ha sido rotado se transforman igual que las componentes de un tensor contravariante de primer orden.

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Las componentes contravaiantes de un campo tensorial, son los elementos que acompañan a los vectores de base de la forma e⃗ ie→i. Las coordenadas o componentes ' a secas' son los elementos que acompañan a los respectivos vectores unitarios e^ie^i de un sistema de coordenadas curvilíneo. En este caso se cumple que:

e⃗ x′=e^x′=i^e→x′=e^x′=i^

e⃗ y′=e^y′e→y′=e^y′ Además |e⃗ y′|=|e^y′|=1|e→y′|=|e^y′|=1

En este caso, los vectores de base del sistema contraído son unitarios, pero no son ortogonales

Transformación de los vectores de base:

Un campo vectorial es una función de tipo vectorial en donde cada una de sus componentes depende de una o mas variables. La función vectorial de variable vector mas elemental es la función radio vector. La cual en un sistema cartesiano bidimensional, se escribiría así

r⃗ =x1e⃗ 1+x2e⃗ 2r→=x1e→1+x2e→2 ……………(1a)

Pero como en coordenadas cartesianas se cumple: xi=xixi=xi además e⃗ i=e^ie→i=e^i en este caso para i = 1,2.

r⃗ =x1e^1+x2e^2r→=x1e^1+x2e^2 ……………(1b)

Es decir:

r⃗ =xi^+yj^r→=xi^+yj^ ……………………….(1c)

Las relaciones directas dadas inicialmente son:

x=x′+senϕy′x=x′+senϕy′ ………………..(2a)

y=cosϕy′y=cosϕy′ ……………..………….(2b)

Usamos estas relaciones directas para armar nuestro vector posición en otro sistema de coordenadas.

Reemplazando las relaciones (2a) y (2b) en (1c).

r⃗ =(x′+senϕy′)i^+(cosϕy′)j^r→=(x′+senϕy′)i^+(cosϕy′)j^…………………………(1d)

Ahora lo que hay que hacer es derivar este vector, con respecto a cada una de las 'nuevas coordenadas' , que en este caso corresponde a las coordenadas que han sido contraídas un ángulo ϕ con respecto al sistema original ortogonal. Al hacer esto lo que se está haciendo precisamente es hallar los nuevos vectores de base, los cuales si se dividen entre sus módulos respectivos, se obtiene los respectivos vectores unitarios. En este caso particular, los factores de escala son iguales a la unidad, por lo que los vectores de base en este caso también son vectores unitarios.

e⃗ x′=∂r⃗ ∂x′=∂x∂x′i^+∂y∂x′j^e→x′=∂r→∂x′=∂x∂x′i^+∂y∂x′j^

e⃗ y′=∂r⃗ ∂y′=∂x∂y′i^+∂y∂y′j^e→y′=∂r→∂y′=∂x∂y′i^+∂y∂y′j^

Reemplazando los valores de las derivadas parciales:

e⃗ x′=∂r⃗ ∂x′=1i^+0j^=i^e→x′=∂r→∂x′=1i^+0j^=i^

e⃗ y′=∂r⃗ ∂y′=senϕi^+cosϕj^e→y′=∂r→∂y′=senϕi^+cosϕj^

En este caso particular al ser los factores de escala igual a la unidad se cumple que los vectores de base son unitarios. Es decir, se cumple que:

e^x′=e⃗ x′e^x′=e→x′

e^y′=e⃗ y′e^y′=e→y′

Hay que aclarar que estos vectores de base, a cada uno de los sumandos que aparecen aquí se van sumando vectorialmente en direcciones distintas, la dirección está dada en este caso por los vectores de base i^i^ y j^j^.

Además en este caso se cumple que: e⃗ x′=i^e→x′=i^ ya que el eje 'x' permanece sin variación, solo el eje 'y' ha variado su inclinación, por eso su vector unitario es diferente. Es similar a el caso del vector unitario vertical usado en coordenadas cilíndricas que es igual al vector vertical de las coordenadas cartesianas, es decir z^=k^z^=k^

Igual que en el caso anterior, estos resultados se pueden colocar en forma ordenada un una relación matricial.

[e⃗ x′e⃗ y′]=[1senϕ0cosϕ][i^j^][e→x′e→y′]=[10senϕcosϕ][i^j^] …………………………..(M2a)

Y si se quiere establecer las relaciones inversas, se puede hallar la inversa de la matriz anterior o también obtener las derivadas parciales a partir de las relaciones inversas dadas al inicio de esta respuesta.

[i^j^]=[1−tanϕ0secϕ][e⃗ x′e⃗ y′][i^j^]=[10−tanϕsecϕ][e→x′e→y′] ………………………….(M2b)

Lo que se ha hecho en ambas matrices es lo siguiente:

[e⃗ x′e⃗ y′]=⎡⎣∂x∂x′∂x∂y′∂y∂x′∂y∂y′⎤⎦[i^j^][i^j^]=⎡⎣∂x′∂x∂x′∂y∂y′∂x∂y′∂y⎤⎦[e⃗ x′e⃗ y′][e→x′e→y′]=[∂x∂x′∂y∂x′∂x∂y′∂y∂y′][i^j^][i^j^]=[∂x′∂x∂y′∂x∂x′∂y∂y′∂y][e→x′e→y′]

Si queremos usar la notación sumatoria, para indicar ambas transformaciones, se escribiría de la siguiente forma.

e¯⃗ j=∑i=12∂xi∂x¯je⃗ ie⃗ i=∑j=12∂x¯j∂xie¯⃗ je¯→j=∑i=12∂xi∂x¯je→ie→i=∑j=12∂x¯j∂xie¯→j

Para cada valor de jj en el primer caso y para cada valor de ii en el segundo caso.

Se está usando la notación e⃗ ie→i para referirse a los vectores unitarios en coordenadas cartesianas ortogonales y se está usando la notación e¯⃗ je¯→j para referirse a los vectores unitarios de cualquier otro sistema de coordenadas que ha sido contraído un cierto ángulo ϕ con respecto al sistema cartesiano original.

Pero esa es justamente la relación entre las coordenadas de un tensor covariante de primer orden cuando se hace una transformación de un sistema a otro.

En notación matricial:

[Ax′Ay′]=⎡⎣∂x∂x′∂x∂y′∂y∂x′∂y∂y′⎤⎦[AxAy][AxAy]=⎡⎣∂x′∂x∂x′∂y∂y′∂x∂y′∂y⎤⎦[Ax′Ay′][Ax′Ay′]=[∂x∂x′∂y∂x′∂x∂y′∂y∂y′][AxAy][AxAy]=[∂x′∂x∂y′∂x∂x′∂y∂y′∂y][Ax′Ay′] ………………(M2c)

En notación sumatoria:

A¯j=∑i=12∂xi∂x¯jAiAi=∑j=12∂x¯j∂xiA¯jA¯j=∑i=12∂xi∂x¯jAiAi=∑j=12∂x¯j∂xiA¯j

Para cada valor de jj en el primer caso y para cada valor de ii en el segundo caso.

Pero de acuerdo al convenio de índices repetidos, se puede prescindir de los símbolos sumatoria para expresar la misma relación.

A¯j=∂xi∂x¯jAiAi=∂x¯j∂xiA¯jA¯j=∂xi∂x¯jAiAi=∂x¯j∂xiA¯j

Para cada valor de jj en el primer caso y para cada valor de ii en el segundo caso. Relación que es válida ya sea que los sistemas sean bidimensionales, tridimensionales o de más dimensiones.

Luego:

Los vectores de base al pasar de un sistema de coordenadas curvilíneo a otro se transforman igual que las componentes de un tensor covariante de primer orden. En este caso particular se ha pasado de un sistema de coordenadas ortogonales a un sistema de coordenadas no ortogonal.

Se ha demostrado como se transforman los diferenciales de coordenadas y los vectores de base respectivamente.

Falta demostrar el comportamiento del diferencial de vector posición.

El vector posición en un sistema de coordenadas cartesianas puede representarse como:

r⃗ =x1e⃗ 1+x2e⃗ 2+x3e⃗ 3r→=x1e→1+x2e→2+x3e→3

Si se trabaja con solo 2 dimensiones:

r⃗ =xi^+yj^r→=xi^+yj^

r⃗ =(x′+senϕy′)i^+(cosϕy′)j^r→=(x′+senϕy′)i^+(cosϕy′)j^

Diferenciando:

dr⃗ =dx′∂r⃗ ∂x′+dy′∂r⃗ ∂y′dr→=dx′∂r→∂x′+dy′∂r→∂y′

Cada una de las derivadas parciales es un vector de base del espacio contraído.

dr⃗ =dx′e⃗ x′+dy′e⃗ y′dr→=dx′e→x′+dy′e→y′ ………..(3a)

Relaciones que ya se obtuvieron anteriormente en la relación (M2a)

La relación (3a) puede escribirse como:

dr⃗ =[dx′dy′][e⃗ x′e⃗ y′]dr→=[dx′dy′][e→x′e→y′] …..(3b)

Reemplazando los vectores unitarios e⃗ x′e→x′ y e⃗ y′e→y′ en (3b)

dr⃗ =[dx′dy′][1senϕ0cosϕ][i^j^]dr→=[dx′dy′][10senϕcosϕ][i^j^] ……………………(3c)

El mismo producto, también puede ser escrito como:

dr⃗ =[i^j^][10senϕcosϕ][dx′dy′]dr→=[i^j^][1senϕ0cosϕ][dx′dy′] ……………………(3d)

De acuerdo con la relación (M1a)

dr⃗ =[i^j^][dxdy]dr→=[i^j^][dxdy] ……………………(3e)

Finalmente:

dr⃗ =dxi^+dyj^dr→=dxi^+dyj^

Luego. Se ha demostrado la equivalencia entre:

dr⃗ =dx′i^′+dyj^′dr→=dx′i^′+dyj^′ y

dr⃗ =dxi^+dyj^dr→=dxi^+dyj^

Cuando se evalúa una función vectorial en algún punto de un espacio vectorial lo que se obtiene es un vector, de igual modo cuando al evaluar una función ordinaria en algún punto de su dominio lo que se obtiene es un número.

Para ver como se transforman las componentes vamos con el siguiente caso:

Sea la función vectorial dada por:

A⃗ =Axi^+Ayj^A→=Axi^+Ayj^

Se puede escribir de la siguiente manera:

A⃗ =[AxAy][i^j^]A→=[AxAy][i^j^]