¿Cómo se transforman las componentes de un vector o campo vectorial, sus diferenciales y sus vectores de base al pasar de un sistema de coordenadas...
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A modo de ejemplo se va a ver el caso de transformación de un sistema cartesiano a uno polar de dos dimensiones. Entonces para ilustrar esta respuesta se va a usar las relaciones entre las coordenadas polares y las cartesianas.
Se va a usar ρρ para referirse a la coordenada radial, mientras que algunos usan r para referirse a esta misma coordenada.
Las relaciones directas son:
x=ρcosθx=ρcosθ
y=ρsenθy=ρsenθ
Las relaciones inversas son:
ρ2=x2+y2ρ2=x2+y2
θ=atan2(y,x)θ=atan2(y,x)
Si el ángulo solo varía dentro de dos cuadrantes, entonces se puede escribir así:
θ=tan−1(y/x)θ=tan−1(y/x)
——————————————
Analizando la Transformación de los Diferenciales:
Lo que sigue es obtener el diferencial total de cada una de las coordenadas iniciales a partir de las relaciones directas. ( No confundir el diferencial total con el diferencial de un producto. )
dx=∂x∂ρdρ+∂x∂θdθdx=∂x∂ρdρ+∂x∂θdθ
dy=∂y∂ρdρ+∂y∂θdθdy=∂y∂ρdρ+∂y∂θdθ
——————————————
dr⃗ =∂r⃗ ∂ρdρ+∂r⃗ ∂θdθdr→=∂r→∂ρdρ+∂r→∂θdθ
Reemplazando:
dx=cosθdρ−ρsenθdθdx=cosθdρ−ρsenθdθ
dy=senθdρ+ρcosθdθdy=senθdρ+ρcosθdθ
Hay que aclarar que estos diferenciales son lineales, en el sentido en que las partes que los componen se van sumando en la misma dirección.
Estas relaciones, se pueden colocar en forma ordenada en una relación matricial.
[dxdy]=[cosθsenθ−ρsenθρcosθ][dρdθ][dxdy]=[cosθ−ρsenθsenθρcosθ][dρdθ] …………………………(M1a)
Y si se quiere establecer la relación inversa entre los diferenciales hay dos formas de hacer esto. Hallando la matriz inversa de la anterior matriz de transformación o hallando las derivadas parciales a partir de las relaciones inversas dadas inicialmente.
[dρdθ]=[cosθ−senθρsenθcosθρ][dxdy][dρdθ]=[cosθsenθ−senθρcosθρ][dxdy] ………………………….(M1b)
Entonces, lo que se ha hecho en ambas matrices es lo siguiente
[dxdy]=⎡⎣∂x∂ρ∂y∂ρ∂x∂θ∂y∂θ⎤⎦[dρdθ][dρdθ]=⎡⎣∂ρ∂x∂θ∂x∂ρ∂y∂θ∂y⎤⎦[dxdy][dxdy]=[∂x∂ρ∂x∂θ∂y∂ρ∂y∂θ][dρdθ][dρdθ]=[∂ρ∂x∂ρ∂y∂θ∂x∂θ∂y][dxdy]
Si queremos usar la notación sumatoria, para indicar ambas transformaciones, se escribiría de la siguiente forma.
dxi=∑α=12∂xi∂x¯αdx¯αdx¯α=∑i=12∂x¯α∂xidxidxi=∑α=12∂xi∂x¯αdx¯αdx¯α=∑i=12∂x¯α∂xidxi
Para cada valor de ii en el primer caso y para cada valor de αα en el segundo caso.
Se está usando la notación dxidxi para referirse a los diferenciales en coordenadas cartesianas y se está usando la notación dx¯αdx¯α para referirse a los diferenciales de cualquier otro sistema de coordenadas curvilíneas.
Pero esa es justamente la relación entre las coordenadas de un tensor contravariante de primer orden cuando se hace una transformación de un sistema a otro.
En notación matricial:
[AxAy]=⎡⎣∂x∂ρ∂y∂ρ∂x∂θ∂y∂θ⎤⎦[AρAθ][AρAθ]=⎡⎣∂ρ∂x∂θ∂x∂ρ∂y∂θ∂y⎤⎦[AxAy][AxAy]=[∂x∂ρ∂x∂θ∂y∂ρ∂y∂θ][AρAθ][AρAθ]=[∂ρ∂x∂ρ∂y∂θ∂x∂θ∂y][AxAy] …………(M1c)
En notación sumatoria:
Ai=∑α=12∂xi∂x¯αA¯αA¯α=∑i=12∂x¯α∂xiAiAi=∑α=12∂xi∂x¯αA¯αA¯α=∑i=12∂x¯α∂xiAi
Para cada valor de ii en el primer caso y para cada valor de αα en el segundo caso.
Pero de acuerdo al convenio de índices repetidos, se puede prescindir de los símbolos sumatoria para expresar la misma relación.
Ai=∂xi∂x¯αA¯αA¯α=∂x¯α∂xiAiAi=∂xi∂x¯αA¯αA¯α=∂x¯α∂xiAi
Para cada valor de ii en el primer caso y para cada valor de αα en el segundo caso. Relación que es válida ya sea que los sistemas sean bidimensionales, tridimensionales o de más dimensiones.
Luego:
Los diferenciales al pasar de un sistema de coordenadas curvilíneo a otro se transforman igual que las componentes de un tensor contravariante de primer orden.
Las componentes contravariantes de un campo tensorial, son los elementos que acompañan a los vectores de base de la forma e⃗ ie→i. Las componentes ( a secas ) son los elementos que acompañan a los respectivos vectores unitarios e^ie^i de un sistema de coordenadas curvilíneo.
En este caso para las componentes contravariantes
A⃗ =Aρe⃗ ρ+Aθe⃗ θA→=Aρe→ρ+Aθe→θ
Para las coordenadas polares o componentes ( a secas )
A⃗ =A¯ρe^ρ+A¯θe^θA→=A¯ρe^ρ+A¯θe^θ
Transformación de los vectores de base:
Un campo vectorial es una función de tipo vectorial en donde cada una de sus componentes depende de una o mas variables. La función vectorial de variable vector mas elemental es la función radio vector. La cual en un sistema cartesiano bidimensional, se escribiría así
r⃗ =x1e⃗ 1+x2e⃗ 2r→=x1e→1+x2e→2 ……………(1a)
Pero como en coordenadas cartesianas se cumple: xi=xixi=xi además e⃗ i=e^ie→i=e^i en este caso para i = 1,2.
r⃗ =x1e^1+x2e^2r→=x1e^1+x2e^2 ……………(1b)
Es decir:
r⃗ =xi^+yj^r→=xi^+yj^ ……………………….(1c)
Las relaciones directas dadas inicialmente son:
x=ρcosθx=ρcosθ ………………..(2a)
y=ρsenθy=ρsenθ ………………….(2b)
Usamos estas relaciones directas para armar nuestro vector posición en otro sistema de coordenadas.
Reemplazando las relaciones (2a) y (2b) en (1c).
r⃗ =ρcosθi^+ρsenθj^r→=ρcosθi^+ρsenθj^ …………………………(1d)
Ahora lo que hay que hacer es derivar este vector, con respecto a cada una de las 'nuevas coordenadas' , que en este caso corresponde a las coordenadas polares. Al hacer esto lo que se está haciendo precisamente es hallar los nuevos vectores de base, los cuales si se dividen entre sus módulos respectivos, se obtiene los respectivos vectores unitarios.
e⃗ ρ=∂r⃗ ∂ρ=∂x∂ρi^+∂y∂ρj^e→ρ=∂r→∂ρ=∂x∂ρi^+∂y∂ρj^
e⃗ θ=∂r⃗ ∂θ=∂x∂θi^+∂y∂θj^e→θ=∂r→∂θ=∂x∂θi^+∂y∂θj^
Reemplazando los valores de las derivadas parciales:
e⃗ ρ=∂r⃗ ∂ρ=cosθi^+senθj^e→ρ=∂r→∂ρ=cosθi^+senθj^
e⃗ θ=∂r⃗ ∂θ=−ρsenθi^+ρcosθj^e→θ=∂r→∂θ=−ρsenθi^+ρcosθj^
Hay que aclarar que estos vectores de base, no todos son unitarios, además cada uno de los sumandos que aparecen aquí se van sumando vectorialmente en direcciones distintas, la dirección está dada en este caso por los vectores de base i^i^ y j^j^.
Igual que en el caso anterior, estos resultados se pueden colocar en forma ordenada un una relación matricial.
[e⃗ ρe⃗ θ]=[cosθ−ρsenθsenθρcosθ][i^j^][e→ρe→θ]=[cosθsenθ−ρsenθρcosθ][i^j^] …………………………..(M2a)
Y si se quiere establecer las relaciones inversas, se puede hallar la inversa de la matriz anterior o también obtener las derivadas parciales a partir de las relaciones inversas dadas al inicio de esta respuesta.
[i^j^]=[cosθsenθ−senθρcosθρ][e⃗ ρe⃗ θ][i^j^]=[cosθ−senθρsenθcosθρ][e→ρe→θ] ………………………….(M2b)
Lo que se ha hecho en ambas matrices es lo siguiente:
[e⃗ ρe⃗ θ]=⎡⎣∂x∂ρ∂x∂θ∂y∂ρ∂y∂θ⎤⎦[i^j^][i^j^]=⎡⎣∂ρ∂x∂ρ∂y∂θ∂x∂θ∂y⎤⎦[e⃗ ρe⃗ θ][e→ρe→θ]=[∂x∂ρ∂y∂ρ∂x∂θ∂y∂θ][i^j^][i^j^]=[∂ρ∂x∂θ∂x∂ρ∂y∂θ∂y][e→ρe→θ]
Si queremos usar la notación sumatoria, para indicar ambas transformaciones, se escribiría de la siguiente forma.
e¯⃗ α=∑i=12∂xi∂x¯αe⃗ ie⃗ i=∑α=12∂x¯α∂xie¯⃗ αe¯→α=∑i=12∂xi∂x¯αe→ie→i=∑α=12∂x¯α∂xie¯→α
Para cada valor de αα en el primer caso y para cada valor de ii en el segundo caso.
Se está usando la notación e⃗ ie→i para referirse a los vectores unitarios en coordenadas cartesianas y se está usando la notación e¯⃗ αe¯→α para referirse a los vectores unitarios de cualquier otro sistema de coordenadas curvilíneo.
Pero esa es justamente la relación entre las coordenadas de un tensor covariante de primer orden cuando se hace una transformación de un sistema a otro.
En notación matricial:
[AρAθ]=⎡⎣∂x∂ρ∂x∂θ∂y∂ρ∂y∂θ⎤⎦[AxAy][AxAy]=⎡⎣∂ρ∂x∂ρ∂y∂θ∂x∂θ∂y⎤⎦[AρAθ][AρAθ]=[∂x∂ρ∂y∂ρ∂x∂θ∂y∂θ][AxAy][AxAy]=[∂ρ∂x∂θ∂x∂ρ∂y∂θ∂y][AρAθ] …………(M2c)
En notación sumatoria:
A¯α=∑i=12∂xi∂x¯αAiAi=∑α=12∂x¯α∂xiA¯αA¯α=∑i=12∂xi∂x¯αAiAi=∑α=12∂x¯α∂xiA¯α
Para cada valor de αα en el primer caso y para cada valor de ii en el segundo caso.
Pero de acuerdo al convenio de índices repetidos, se puede prescindir de los símbolos sumatoria para expresar la misma relación.
A¯α=∂xi∂x¯αAiAi=∂x¯α∂xiA¯αA¯α=∂xi∂x¯αAiAi=∂x¯α∂xiA¯α
Para cada valor de αα en el primer caso y para cada valor de ii en el segundo caso. Relación que es válida ya sea que los sistemas sean bidimensionales, tridimensionales o de más dimensiones.
Luego:
Los vectores de base al pasar de un sistema de coordenadas curvilíneo a otro se transforman igual que las componentes de un tensor covariante de primer orden.
La relación entre los vectores de base y los respectivos vectores unitarios es la siguiente:
e⃗ i=hie^ie→i=hie^i
Donde hihi recibe el nombre de factor de escala y son los módulos de los vectores de base. Es decir:
hi=|e⃗ i|hi=|e→i| ……………………(U0)
En el caso del sistema de coordenadas polares:
e⃗ ρ=e^ρe→ρ=e^ρ ………………………(U1)
e⃗ θ=ρe^θe→θ=ρe^θ ……………………..(U2)
Se ha demostrado como se transforman los diferenciales de coordenadas y los vectores de base respectivamente.
Ahora vamos a demostrar el comportamiento del diferencial de vector posición.
El vector posición en un sistema de coordenadas cartesianas puede representarse como:
r⃗ =x1e⃗ 1+x2e⃗ 2+x3e⃗ 3r→=x1e→1+x2e→2+x3e→3
El vector posición en algún otro sistema de coordenadas curvilíneo puede representarse como
r⃗ =u1e⃗ 1+u2e⃗ 2+u⃗ 3e3r→=u1e→1+u2e→2+u→3e3
Si se trabaja con solo 2 dimensiones:
r⃗ =xi^+yj^r→=xi^+yj^
r⃗ =(ρcosθ)i^+(ρsenθ)j^r→=(ρcosθ)i^+(ρsenθ)j^
Diferenciando:
dr⃗ =dρ∂r⃗ ∂ρ+dθ∂r⃗ ∂θdr→=dρ∂r→∂ρ+dθ∂r→∂θ
Cada uno de las derivadas parciales es un vector de base:
dr⃗ =dρe⃗ ρ+dθe⃗ θdr→=dρe→ρ+dθe→θ ………..(3a)
Que ya se obtuvo anteriormente en la relación (M2a)
La relación (3a) puede escribirse como:
dr⃗ =[dρdθ][e⃗ ρe⃗ θ]dr→=[dρdθ][e→ρe→θ] …..(3b)
Reemplazando los vectores de base e⃗ ρe→ρ y e⃗ θe→θ en (3b)
dr⃗ =[dρdθ][cosθ−ρsenθsenθρcosθ][i^j^]dr→=[dρdθ][cosθsenθ−ρsenθρcosθ][i^j^] ……………………(3c)
Se puede escribir la relación (3c) de la siguiente forma: ( Transponiendo y cambiando el orden. )
dr⃗ =[i^j^][cosθsenθ−ρsenθρcosθ][dρdθ]dr→=[i^j^][cosθ−ρsenθsenθρcosθ][dρdθ] ……………………(3d)
De acuerdo con la relación (M1a)
dr⃗ =[i^j^][dxdy]dr→=[i^j^][dxdy] ……………………(3e)
Finalmente:
dr⃗ =dxi^+dyj^dr→=dxi^+dyj^
Luego. Se ha demostrado la equivalencia entre:
dr⃗ =dρe⃗ ρ+dθe⃗ θdr→=dρe→ρ+dθe→θ y
dr⃗ =dxi^+dyj^dr→=dxi^+dyj^
Cuando se evalúa una función vectorial en algún punto de un espacio vectorial lo que se obtiene es un vector, de igual modo cuando al evaluar una función ordinaria en algún punto de su dominio lo que se obtiene es un número.
Para ver como se transforman las componentes vamos con el siguiente caso:
Sea la función vectorial dada por:
A⃗ =Axi^+Ayj^A→=Axi^+Ayj^
Se puede escribir de la siguiente manera:
A⃗ =[AxAy][i^j^]A→=[AxAy][i^j^]
Reemplazando los valores de i^i^ y j^j^ según (M2b)
A⃗ =[AxAy][cosθsenθ−senθρcosθρ][e⃗ ρe⃗ θ]A→=[AxAy][cosθ−senθρsenθcosθρ][e→ρe→θ]
La misma ecuación puede escribirse como:
A⃗ =[e⃗ ρe⃗ θ][cosθ−senθρsenθcosθρ][AxAy]A→=[e→ρe→θ][cosθsenθ−senθρcosθρ][AxAy]
De acuerdo con las relaciones en (M1c)
A⃗ =[e⃗ ρe⃗ θ][AρAθ]A→=[e→ρe→θ][AρAθ]
A⃗ =Aρe⃗ ρ+Aθe⃗ θA→=Aρe→ρ+Aθe→θ
Pero de acuerdo con (U2): e⃗ θ=ρe^ρe→θ=ρe^ρ
Entonces la expresión anterior queda como:
A⃗ =Aρe^ρ+(Aθρ)e^θA→=Aρe^ρ+(Aθρ)e^θ
Usando vectores unitarios:
A⃗ =A¯ρe^ρ+A¯θe^θA→=A¯ρe^ρ+A¯θe^θ
Usando la notación habitual, para designar a los vectores unitarios del sistema de coordenadas polares:
A⃗ =A¯ρρ^+A¯θθ^A→=A¯ρρ^+A¯θθ^
Aclaración:
Se está empleando la notación A¯ρA¯ρ y A¯θA¯θ para referirse a las componentes que acompañan a los vectores unitarios. Lo que en muchos libros que tratan el tema de coordenadas curvilíneas escriben simplemente como AρAρ y AθAθ respectivamente. Esto puede producir confusión ya que esa es la notación para referirse a las componentes covariantes de un tensor.
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Aplicando a un ejemplo:
Sea el campo vectorial dado por:
A⃗ =yi^+xj^A→=yi^+xj^
a ) Hallar las componentes contravariantes del campo vectorial en el sistema de coordenadas polares.
b) Hallar las coordenadas que acompañan a los vectores unitarios respectivos.
Solución. En este caso:
A⃗ =[AxAy][i^j^]A→=[AxAy][i^j^]
A⃗ =[AxAy][cosθsenθ−senθρcosθρ][e⃗ ρe⃗ θ]A→=[AxAy][cosθ−senθρsenθcosθρ][e→ρe→θ]
A⃗ =[e⃗ ρe⃗ θ][cosθ−senθρsenθcosθρ][AxAy]A→=[e→ρe→θ][cosθsenθ−senθρcosθρ][AxAy]
Reemplazando:
A⃗ =[e⃗ ρe⃗ θ][cosθ−senθρsenθcosθρ][ρsenθρcosθ]A→=[e→ρe→θ][cosθsenθ−senθρcosθρ][ρsenθρcosθ]
A⃗ =[e⃗ ρe⃗ θ][ρsen2θcos2θ]A→=[e→ρe→θ][ρsen2θcos2θ]
A⃗ =(ρsen2θ)e⃗ ρ+(cos2θ)e⃗ θA→=(ρsen2θ)e→ρ+(cos2θ)e→θ
Componentes contravariantes:
Aρ=ρsen2θAρ=ρsen2θ
Aθ=cos2θAθ=cos2θ
Pasando de vectores de base a vectores unitarios:
A⃗ =(ρsen2θ)e⃗ ρ+(cos2θ)ρe^θA→=(ρsen2θ)e→ρ+(cos2θ)ρe^θ
A⃗ =(ρsen2θ)ρ^+(ρcos2θ)θ^A→=(ρsen2θ)ρ^+(ρcos2θ)θ^
Componentes o 'coordenadas' del vector en el sistema polar
A¯ρ=ρsen2θA¯ρ=ρsen2θ
A¯θ=ρcos2θA¯θ=ρcos2θ
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MUY IMPORTANTE:
En los libros que tratan el tema de sistemas de coordenadas curvilíneas, sin hacer mención de si se trata de componentes covariantes o contravariantes, no es necesario hacer tal diferencia, ya que se trabaja con vectores unitarios y no con vectores de base. Como en esos libros se trabaja con vectores unitarios, no es necesario establecer la diferencia entre componentes covariantes o contravariantes. La notación usada para referirse a las coordenadas que acompañan a los respectivos vectores unitarios es: AρAρ y AθAθ Luego empleando esa notación, la respuesta sería:
Aρ=ρsen2θAρ=ρsen2θ
Aθ=ρcos2θAθ=ρcos2θ
No se debe confundir con la notación empleada en los libros de Análisis Tensorial para la notación de las componentes covariantes. Para evitar confusiones en las respuestas se debe detallar específicamente lo que se está calculando, así en esta respuesta se está usando la siguiente notación para las coordenadas o componentes que acompañan a los respectivos vectores unitarios.
A¯ρ=ρsen2θA¯ρ=ρsen2θ
A¯θ=ρcos2θA¯θ=ρcos2θ
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Ahora si, evaluando en algún punto:
Problema: Sea el campo vectorial dado por:
A⃗ =yi^+xj^A→=yi^+xj^
Hallar las componentes contravariantes y las nuevas coordenadas o 'componentes' en el sistema polar en en el punto dado por las coordenadas cartesianas P : ( 6 , 8 )
Solución:
El campo vectorial A⃗ =yi^+xj^A→=yi^+xj^ evaluado en P : ( 6, 8) es A⃗ =8i^+6j^A→=8i^+6j^
En este caso el ángulo que hace el radio vector OP→OP→ es:
θ=tan−1(6/8)≈53°θ=tan−1(6/8)≈53°
2θ=atan2(24,−7)≈106°2θ=atan2(24,−7)≈106°
El vector A⃗ A→ usando componentes contravariantes está dado por:
A⃗ =(ρsen2θ)e⃗ ρ+(cos2θ)e⃗ θA→=(ρsen2θ)e→ρ+(cos2θ)e→θ
Reemplazando:
A⃗ =(9.6)e⃗ ρ−(0.28)e⃗ θA→=(9.6)e→ρ−(0.28)e→θ
Luego las componentes contravariantes en el punto P : ( 6, 8 ) son:
AρAρ = 9.6 y AθAθ = -0.28
El vector A⃗ A→ expresado en componentes o coordenadas polares está dado por:
A⃗ =(ρsen2θ)ρ^+(ρcos2θ)θ^A→=(ρsen2θ)ρ^+(ρcos2θ)θ^
Reemplazando:
A⃗ =(9.6)ρ^−(2.8)θ^A→=(9.6)ρ^−(2.8)θ^
Y las componentes o 'coordenadas' del vector en el sistema polar evaluado en el punto dado son:
A¯ρA¯ρ = 9.6 y A¯θA¯θ = -2.8
Lo que en algunos libros denotan simplemente como:
AρAρ = 9.6 y AθAθ = -2.8
Pero esa es justamente la notación empleada en Análisis Tensorial, para referirse a las componentes covariantes de un tensor, por tal motivo se debe evitar el uso de esta notación.
¿ Y como serían las componentes covariantes ?
Si lo que sebusca es representar al campo vectorial en algún punto mediante las componentes contravariantes se debe hacer lo siguiente. Recordar que un campo vectorial evaluado en un punto nos dá un vector. Entonces, este vector debe tener la forma:
A⃗ =Aρe⃗ ρ+Aθe⃗ θA→=Aρe→ρ+Aθe→θ
Primero necesitamos calcular los vectores de base contravariantes. Estos vectores conforman la base del espacio dual. Como el sistema angular es ortogonal los nuevos vectores de base del espacio dual se superponen a los vectores de base covariantes del sistema angular y la única diferencia entre estos nuevos vectores y los anteriores es una potencia entera de los factores de escala.
Calculando los nuevos vectores de base del espacio dual.
Se parte de lo siguiente: Los diferenciales se transforman como componentes de un tensor covariante
[dxdy]=⎡⎣∂x∂ρ∂y∂ρ∂x∂θ∂y∂θ⎤⎦[dρdθ][dρdθ]=⎡⎣∂ρ∂x∂θ∂x∂ρ∂y∂θ∂y⎤⎦[dxdy][dxdy]=[∂x∂ρ∂x∂θ∂y∂ρ∂y∂θ][dρdθ][dρdθ]=[∂ρ∂x∂ρ∂y∂θ∂x∂θ∂y][dxdy] …………(M3ab)
Reemplazando los vectores unitarios y las derivadas parciales, se obtiene los nuevos vectores de base del espacio dual.
[i^j^]=[cosθsenθ−ρsenθρcosθ][e⃗ ρe⃗ θ][e⃗ ρe⃗ θ]=[cosθ−senθρsenθcosθρ][i^j^][i^j^]=[cosθ−ρsenθsenθρcosθ][e→ρe→θ][e→ρe→θ]=[cosθsenθ−senθρcosθρ][i^j^]
Tenemos los vectores de base, faltan las componentes. Entonces se parte de:
A⃗ =[AxAy][i^j^]A→=[AxAy][i^j^]
Reemplazando los vectores unitarios:
A⃗ =[AxAy][cosθsenθ−ρsenθρcosθ][e⃗ ρe⃗ θ]A→=[AxAy][cosθ−ρsenθsenθρcosθ][e→ρe→θ]
A⃗ =[e⃗ ρe⃗ θ][cosθ−ρsenθsenθρcosθ][AxAy]A→=[e→ρe→θ][cosθsenθ−ρsenθρcosθ][AxAy]
El producto de las dos ultimas matrices nos dan las componentes covariantes del vector A⃗ A→ de acuerdo con las fórmulas (M2c)
A⃗ =[e⃗ ρe⃗ θ][AρAθ]A→=[e→ρe→θ][AρAθ]
Ejemplo:
Sea el campo vectorial dado por:
A⃗ =yi^+xi^A→=yi^+xi^
Calcular las componentes covariantes en el sistema polar.
Forma 1 ( Reduciendo todo a coordenadas cartesianas )
Se debe calcular:
A¯α=A⃗ .e¯⃗ αA¯α=A→.e¯→α
Esto es:
Aρ=A⃗ .e⃗ ρAρ=A→.e→ρ y Aθ=A⃗ .e⃗ θAθ=A→.e→θ
Expresando el vector A⃗ A→ en coordenadas cartesianas ortogonales
Aρ=(yi^+xj^)e⃗ ρAρ=(yi^+xj^)e→ρ
Aθ=(yi^+xj^)e⃗ θAθ=(yi^+xj^)e→θ
Ordenando en una relación matricial:
[AρAθ]=[AxAy][i^j^].[e⃗ ρe⃗ θ]T[AρAθ]=[AxAy][i^j^].[e→ρe→θ]T
[AρAθ]=[AxAy][i^j^].[e⃗ ρe⃗ θ][AρAθ]=[AxAy][i^j^].[e→ρe→θ]
[AρAθ]=[AxAy][i^j^].[i^j^][cosθsenθ−ρsenθρcosθ][AρAθ]=[AxAy][i^j^].[i^j^][cosθ−ρsenθsenθρcosθ]
El producto de los vectores unitarios al ser ortogonales, nos da un tensor métrico con 1 en la diagonal principal y 0 en el resto de valores.
[AρAθ]=[AxAy][1001][cosθsenθ−ρsenθρcosθ][AρAθ]=[AxAy][1001][cosθ−ρsenθsenθρcosθ]
Si se transponen las matrices, a la vez que se intercambian de lugares, el producto queda expresado de la siguiente forma.
[AρAθ]=[cosθ−ρsenθsenθρcosθ][1001][AxAy][AρAθ]=[cosθsenθ−ρsenθρcosθ][1001][AxAy]
Operando:
[AρAθ]=[cosθ−ρsenθsenθρcosθ][AxAy][AρAθ]=[cosθsenθ−ρsenθρcosθ][AxAy]
Reemplazando: Ax=yAx=y y Ay=xAy=x
[AρAθ]=[cosθ−ρsenθsenθρcosθ][yx][AρAθ]=[cosθsenθ−ρsenθρcosθ][yx]
Pero: y=ρsenθy=ρsenθ y x=ρsenθx=ρsenθ
[AρAθ]=[cosθ−ρsenθsenθρcosθ][ρsenθρcosθ][AρAθ]=[cosθsenθ−ρsenθρcosθ][ρsenθρcosθ]
Finalmente:
[AρAθ]=[ρsen2θρ2cos2θ][AρAθ]=[ρsen2θρ2cos2θ]
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Forma 2: ( Trabajando en el mismo sistema curvilíneo )
Debemos calcular:
Aρ=[Aρe⃗ ρ+Aθe⃗ θ]e⃗ ρAρ=[Aρe→ρ+Aθe→θ]e→ρ
Aθ=[Aρe⃗ ρ+Aθe⃗ θ]e⃗ θAθ=[Aρe→ρ+Aθe→θ]e→θ
Ordenando en una relación matricial:
[AρAθ]=[AρAθ][e⃗ ρe⃗ θ].[e⃗ ρe⃗ θ]T[AρAθ]=[AρAθ][e→ρe→θ].[e→ρe→θ]T
[AρAθ]=[AρAθ][e⃗ ρe⃗ θ].[e⃗ ρe⃗ θ][AρAθ]=[AρAθ][e→ρe→θ].[e→ρe→θ]
El producto de las dos últimas matrices columna y fila conforman el tensor métrico de este sistema curvilíneo, en este caso el sistema polar, angular o circular.
[AρAθ]=[AρAθ][100ρ2][AρAθ]=[AρAθ][100ρ2]
Transponiendo e intercambiando las matrices:
[AρAθ]=[100ρ2][AρAθ][AρAθ]=[100ρ2][AρAθ]
Esto en notación tensorial es: A¯α=gαβA¯βA¯α=gαβA¯β
Las componentes contravariantes ya habían sido calculadas previamente, así que solo se reemplaza su valores en la matriz columna.
[AρAθ]=[100ρ2][ρsen2θcos2θ][AρAθ]=[100ρ2][ρsen2θcos2θ]
Entonces:
[AρAθ]=[ρsen2θρ2cos2θ][AρAθ]=[ρsen2θρ2cos2θ]
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Ya tenemos los vectores base del espacio dual y ya tenemos las componentes covariantes. Entonces ya se puede armar el campo vectorial o vector evaluado en un punto.
En este caso, las componentes covariantes son:
Aρ=ρsen2θAρ=ρsen2θ
Aθ=ρ2cos2θAθ=ρ2cos2θ
Observación: Como se puede apreciar en este caso la componente covariante angular difiere de la componente contravariante en el cuadrado del factor de escala respectivo es decir ρ2ρ2. De igual modo que los vectores de base contravariante y covariante angulares respectivos.
Aθ=ρ2AθAθ=ρ2Aθ y e⃗ θ=1ρ2e⃗ θ=θ^ρe→θ=1ρ2e→θ=θ^ρ
Con los vectores de base del espacio dual, se obtiene una expresión de la forma:
A⃗ =Aρe⃗ ρ+Aθe⃗ θA→=Aρe→ρ+Aθe→θ
Reemplazando:
A⃗ =(ρsen2θ)e⃗ ρ+(ρ2cos2θ)e⃗ θA→=(ρsen2θ)e→ρ+(ρ2cos2θ)e→θ
Y esa sería la respuesta.
Si lo que quiere ahora a partir de esta respuesta verificar que esté correcto, solo se tiene que pasar los vectores del espacio dual a los vectores unitarios de este sistema curvilíneo, los cuales en este caso son ρ^ρ^ y θ^θ^ respectivamente
Los vectores de base del espacio dual de acuerdo con (M3ab) son:
e⃗ ρ=cosθi^+senθj^=ρ^e→ρ=cosθi^+senθj^=ρ^
e⃗ θ=1ρ(−senθi^+cosθj^)=θ^ρe→θ=1ρ(−senθi^+cosθj^)=θ^ρ
Luego:
A⃗ =(ρsen2θ)ρ^+(ρ2cos2θ)θ^ρA→=(ρsen2θ)ρ^+(ρ2cos2θ)θ^ρ
A⃗ =(ρsen2θ)ρ^+(ρcos2θ)θ^A→=(ρsen2θ)ρ^+(ρcos2θ)θ^
Comprobación verificada.
Aclaración: Los vectores unitarios, no son vectores contravariantes ni tampoco vectores covariantes, son simplemente vectores unitarios.
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