geometria vectorial

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MÓDULO DE 
GEOMETRÍA VECTORIAL
FRANCISCO JAVIER CÓRDOBA GÓMEZ PABLO FELIPE ARDILA ROJO
Córdoba Gómez, Francisco Javier
 Módulo de geometría vectorial / Francisco Javier Córdoba Gómez, Pablo Felipe Ardila 
Rojo.--1a ed. – Medellín : Fondo Editorial ITM, 2014.
 149 p. -- (Colección Textos académicos)
 Incluye referencias bibliográficas
 ISBN 978-958-8743-52-3
 1. Geometría vectorial 2. Vectores I. Ardila Rojo, Pablo Felipe II. Tít. III. Serie
516.182 SCDD 21 ed.
Catalogación en la publicación - Biblioteca ITM
Módulo de geometría vectorial 
© FRANCISCO JAVIER CÓRDOBA GÓMEZ
© PABLO FELIPE ARDILA ROJO
© Fondo Editorial ITM
Edición: octubre 2014
ISBN: 978-958-8743-52-3
Hechos todos los depósitos legales
Rectora
LUZ MARIELA SORZA ZAPATA
Editora
SILVIA INÉS JIMÉNEZ GÓMEZ
Secretaria Técnica
VIVIANA DÍAZ
Correctora de Estilo
LILA MARÍA CORTÉS FONNEGRA
Diagramador
ALFONSO TOBÓN BOTERO
Impresión
EDICIONES DIARIO ACTUAL
Editado en Medellín, Colombia
Fondo Editorial ITM
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Resumen
Introducción ........................................................................................................................................ 13
1. Vectores geométricos
1.1 Aproximación al concepto .................................................................................................... 15
1.2 Vectores geométricos ............................................................................................................. 16
1.3 Álgebra de vectores ................................................................................................................ 19
1.3.1 Suma y métodos para sumar vectores ....................................................................... 19
1.3.1.1 Método del triángulo ............................................................................................ 19
1.3.1.2 Método del polígono ............................................................................................ 19
1.3.1.3 Método del paralelogramo ................................................................................... 21
1.3.2 Vector nulo ................................................................................................................... 26
1.3.3 Vector unitario o versor .............................................................................................. 26
1.3.4 Ángulo entre dos vectores ......................................................................................... 26
1.3.5 Vectores paralelos (primera parte) ............................................................................. 27 
1.3.6 Opuesto o inverso aditivo de un vector ................................................................... 27
1.3.7 Resta y métodos para la resta ..................................................................................... 28
1.3.8 Propiedades de la suma de vectores .......................................................................... 29
1.3.9 Producto de un vector por escalar ............................................................................ 29
1.3.10 Vectores paralelos (segunda parte) ......................................................................... 30
1.3.11 Propiedades del producto de un vector por un escalar ....................................... 30
1.3.12 Normalización de un vector ..................................................................................... 31 
1.4 Combinación lineal de vectores ........................................................................................... 31 
1.5 Independencia lineal .............................................................................................................. 32
1.6 Base para el plano................................................................................................................... 32
1.6.1 Teorema de la base para el plano ............................................................................... 32
1.6.2 Teorema de la proporción ........................................................................................... 34
 
1.7 Demostraciones vectoriales .................................................................................................. 37 
1.8 Ejercicios ................................................................................................................................. 40 
2. Vectores coordenados en el plano (R2)
2.1 Vector coordenado y vector de posición ........................................................................... 43
2.1.1 Magnitud de vectores coordenados ........................................................................... 45 
2.1.2 Dirección de vectores coordenados .......................................................................... 46 
2.1.3 Igualdad de vectores coordenados ............................................................................. 46 
2.2 Álgebra de vectores coordenados ................................................................................. 47 
2.2.1 Suma ............................................................................................................................... 47
2.2.1.1 Vector nulo (vector cero) ..................................................................................... 48
2.2.1.2 Inverso u opuesto aditivo .................................................................................... 48
2.2.2 Resta .............................................................................................................................. 48
2.2.3 Vector entre dos puntos ............................................................................................. 50
Contenido
2.2.4 Producto de un vector por un escalar ...................................................................... 52
2.2.5 Normalización de un vector coordenado ................................................................ 53
2.2.6 Teorema de la base para el plano ............................................................................... 54 
2.3 Ejercicios ................................................................................................................................. 57
3. Vectores algebraicos o coordenados en el espacio (R3)
3.1 Vector algebraico o coordenado en R3 ............................................................................... 59
3.1.1 Magnitud de un vector coordenado ........................................................................... 61
3.1.2 Dirección de un vector coordenado en R3 ............................................................... 62
3.1.3 Cosenos directores ....................................................................................................... 63
3.1.4 Igualdad de vectores coordenados en el espacio ..................................................... 64
3.1.5 Operaciones con vectores en el espacio ................................................................... 64
3.1.5.1 Suma ......................................................................................................................... 64
3.1.5.2 Vector nulo (vector cero) ...................................................................................... 65
3.1.5.3 Opuesto o inverso aditivo ..................................................................................... 65
3.1.5.4 Resta ......................................................................................................................... 65
3.1.5.5 Vector entre dos puntos ........................................................................................ 65
3.1.5.6 Producto de un escalar por un vector coordenado ...........................................66
3.1.6 Base canónica para el espacio ..................................................................................... 69
3.1.7 Ángulo entre vectores coordenados .......................................................................... 70
3.1.8 Propiedades del producto escalar ............................................................................... 73
3.2 Demostraciones vectoriales usando el producto punto ................................................... 78
3.2.1 Teorema del coseno ..................................................................................................... 78
3.2.2 Triángulo rectángulo .................................................................................................... 79
3.2.3 Triángulo inscrito en una circunferencia ................................................................... 79
3.3 Ejercicios ................................................................................................................................. 82
3.4 Proyecciones de un vector .................................................................................................... 82
3.5 Producto vectorial o cruz en R3 ........................................................................................... 91 
3.5.1 Propiedades del producto vectorial ........................................................................... 93
3.5.2 Propiedades geométricas del producto vectorial ..................................................... 94
3.5.3 Otros productos vectoriales ........................................................................................ 97
3.5.3.1 Triple producto escalar o producto mixto en R3 .................................................. 97
3.5.3.2 Propiedades geométricas del triple producto escalar .......................................... 98
3.5.3.3 Triple producto vectorial ........................................................................................ 101
3.6 Aplicaciones del producto cruz ......................................................................................... 102
3.7 Ejercicios ............................................................................................................................... 105
3.8 Rectas en el espacio .............................................................................................................. 107
3.8.1 Ecuación vectorial de la recta ................................................................................... 108
3.8.2 Ecuaciones paramétricas de la recta ........................................................................ 109
3.8.3 Ecuaciones simétricas de la recta ............................................................................. 110
3.8.3.1 Ángulo entre dos rectas ....................................................................................... 115
3.8.3.2 Posiciones relativas entre rectas ......................................................................... 115
3.8.3.3 Distancia de un punto a una recta ..................................................................... 117
3.8.3.4 Distancia entre dos rectas ................................................................................... 119
3.9 Ejemplos rectas .................................................................................................................... 121
3.10 Ejercicios ............................................................................................................................. 127
3.11 Planos en el espacio ........................................................................................................... 127
3.11.1 Ecuación normal del plano ..................................................................................... 129
3.11.2 Ecuación cartesiana del plano ................................................................................ 130
3.11.3 Ecuación vectorial del plano ................................................................................... 132
3.11.4 Ecuaciones paramétricas del plano ........................................................................ 134
3.11.5 Representación del plano en el espacio ................................................................. 135
3.11.5.1 Posiciones relativas entre planos ......................................................................... 140
3.11.5.2 Distancia de un punto a un plano ....................................................................... 143
3.11.5.3 Posiciones relativas entre planos y rectas .......................................................... 146
3.12 Ejercicios ............................................................................................................................. 150
Referencias Bibliográficas
Introducción
15
CAPÍTULO 1
Vectores geométricos
MÓDULO DE GEOMETRÍA VECTORIAL
16
FRANCISCO JAVIER CÓRDOBA GÓMEZ PABLO FFELIPE ARDILA ROJO
17
MÓDULO DE GEOMETRÍA VECTORIAL
18
FRANCISCO JAVIER CÓRDOBA GÓMEZ PABLO FFELIPE ARDILA ROJO
19
MÓDULO DE GEOMETRÍA VECTORIAL
20
FRANCISCO JAVIER CÓRDOBA GÓMEZ PABLO FFELIPE ARDILA ROJO
21
MÓDULO DE GEOMETRÍA VECTORIAL
22
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Referencias 
bibliográficas
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http://etimologias.dechile.net/?vector
http://medical.expert-answers.net/medical-glossary-word/es/Vector.htmlFrancisco Javier Córdoba Gómez
Ingeniero de Minas y Metalurgia, Licenciado en Matemáticas. Magíster 
en Educación y Maestro en Ciencias en Matemática Educativa. 
Profesor Asistente Facultad de Ciencias Exactas y Aplicadas del ITM. 
Ha participado en diferentes eventos nacionales e internacionales en 
el ámbito de la educación matemática. Ha publicado algunos textos 
en el Fondo Editorial del ITM, entre los cuales se destacan: Desarrollo 
y uso didáctico de Geogebra (2013), Función lineal, cuadrática y 
volúmenes y Guía para docentes (2012). Se desempeña como Director 
del Instituto GeoGebra de Medellín desde el año 2012.
Pablo Felipe Ardila Rojo
Matemático de la Universidad Nacional. Magíster en Ciencias 
Matemáticas. Profesor Asistente de la Facultad de Ciencias Exactas y 
Aplicadas del ITM. Trabaja en el área de álgebra abstracta en la línea 
de Teoría de Nudos. Ha participado como ponente en varios eventos 
internacionales de matemáticas puras y educación matemática. Es 
miembro del Grupo de Investigación Da Vinci y coordina uno de sus 
semilleros.
MÓDULO DE GEOMETRÍA VECTORIAL
Este libro se terminó de imprimir en Ediciones Diario Actual
en el mes de noviembre de 2014.
La carátula se imprimió en propalcote 300 gramos,
las páginas interiores en bond 90 gramos.