Taller de Formas cuadráticas y conicas

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Taller de formas cuadráticas y cónicas.
1. En cada uno de los siguientes ejercicios encuentre la forma cuadrática
f(x) = xTAx para A y x que se dan a continuación.
a) A =
[
2 3
3 4
]
, x =
[
x
y
]
b) A =
 1 0 −30 2 1
−3 1 3
, x =
xy
z

2. Encuentre la matriz simétrica asociada a la forma cuadrática
5x2 + 2xy − y2 − 4xz + 4yz + 2z2
3. En los siguientes problemas diagonalice las formas cuadráticas y encuentre
una matriz ortogonal Q tal que el cambio de variable x = Qy transforme la
forma dada en una forma cuadrática que no contenga términos con productos
cruzados. Determine Q y la nueva forma cuadrática.
a) 2x21 + 5x
2
2 − 4x1x2
b) 7x21 + x
2
2 + x
2
3 + 8x1x2 + 8x1x3 − 16x2x3
4. En los siguientes ejercicios realice un cambio de variable para identificar la
cónica dada o determine si es una cónica degenerada. Grafique la cónica dada,
en caso de que no sea degenerada, y proporcione su ecuación en forma estándar.
a) x2 + xy + y2 = 6
b) 3x2 − 2xy + 3y2 = 8
c) x2 − 2xy + y2 + 4
√
2x− 4 = 0
d) x2 + 6xy + y2 = 4
e) 2x2 + 8xy + 2y2 = 6
f ) x2 + 4xy + y2 + 3x + y = 1
g) 2x2 + 6xy + 2y2 = 10
h) 3x2 + 6xy + 3y2 + 12
√
2x = 5
i) 2x2 + 4xy + 2y2 +
√
2x−
√
2y = 6
j ) 5x2 + 12xy+ 5y2 +
√
2x−
√
2y = 12
k) 4x2 + 4xy + y2 + 2
√
5x = 0
l) 2x2 + 12xy + 18y2 − 2
√
10y = 0
m) x2 + 6xy + 9y2 + 2
√
10x = 0
n) 6x2−4xy+ 9y2−20x−10y−5 = 0