Taller 10 Matrices simétricas y diagonalización ortogonal

Vista previa del material en texto

Taller # 7 Álgebra lineal
Prof. Holmes Chavarŕıa
1. Para cada uno de los siguientes ejercicios encuentre una matriz ortogonal Q y
una matriz diagonal D tales que QTAQ = D
a) A =
[
4 1
1 4
]
b) A =
[
−1 3
3 −1
]
c) A =
[
1
√
2√
2 0
]
d) A =
 5 0 00 1 3
0 3 1

2. Encuentre una matriz simétrica de 2× 2 con valores propios λ1 = −1 y λ2 = 2
con vectores propios ortogonales correspondientes v1 =
[
1
1
]
y v2 =
[
1
−1
]
3. En cada uno de los siguientes ejercicios encuentre la forma cuadrática f(x) =
xTAx para A y x que se dan a continuación.
a) A =
[
2 3
3 4
]
, x =
[
x
y
]
b) A =
 1 0 −30 2 1
−3 1 3
, x =
xy
z

4. Encuentre la matriz simétrica asociada a la forma cuadrática
5x2 + 2xy − y2 − 4xz + 4yz + 2z2
5. En los siguientes problemas diagonalice las formas cuadráticas y encuentre una
matriz ortogonal Q tal que el cambio de variable x = Qy transforme la forma
dada en una que no contenga términos con productos cruzados. Determine Q
y la nueva forma cuadrática.
a) 2x21 + 5x
2
2 − 4x1x2
b) 7x21 + x
2
2 + x
2
3 + 8x1x2 + 8x1x3 − 16x2x3
6. En los siguientes ejercicios grafique la cónica dada y proporcione su ecuación
en forma estándar.
a) x2 + xy + y2 = 6
b) 3x2 − 2xy + 3y2 = 8
c) 6x2−4xy+ 9y2−20x−10y−5 = 0
d) x2 − 2xy + y2 + 4
√
2x− 4 = 0