Ejemplo4-11 Algebra

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Ejemplo 4.11:
En P2[x] consideremos el producto interno usual y consideremos la base de P2[x] β =
{1 , x , x2}. Calcular una base ortonormal de P2[x] partiendo de la base β.
Solución:
Hagamos
v1 = 1 , v2 = x y v3 = x
2.
Entonces
‖v1‖ =
√∫ 1
−1
dx =
√
2.
Sea
u1 =
1
‖v1‖
v1 =
1√
2
.
As’i que ‖u1‖ = 1.
Ahora hagamos
w2 = v2 − 〈v2 , u1〉u1.
Pero
〈v2 , u1〉 =
〈
x ,
1√
2
〉
=
1√
2
〈x , 1〉 = 1√
2
∫ 1
−1
xdx = 0.
Luego w2 = v2 = x, adem’as
‖w2‖ =
√∫ 1
−1
x2dx =
√
x3
3
∣∣∣∣1
−1
=
√
2
3
.
Si hacemos
u2 =
1
‖w2‖
w2 =
√
3
2
x
entonces ‖u2‖ = 1 y u1 ⊥ u2 (ver ejemplo ??).
Consideremos
w3 = v3 − 〈v3 , u1〉u1 − 〈v3 , u2〉u2.
Pero
〈v3 , u1〉 =
〈
x2 ,
1√
2
〉
=
1√
2
〈
x2 , 1
〉
=
1√
2
∫ 1
−1
x2dx =
1√
2
x3
3
∣∣∣∣1
−1
=
2
3
√
2
〈v3 , u2〉 =
〈
x2 ,
√
3
2
x
〉
=
√
3
2
〈
x2 , x
〉
=
√
3
2
∫ 1
−1
x3dx = 0.
De donde
w3 = x
2 − 2
3
√
2
1√
2
= −1
3
+ x2
2
y
‖w3‖ =
√∫ 1
−1
(
−1
3
+ x2
)2
dx =
√∫ 1
−1
(
1
9
− 2
3
x2 + x4
)
dx
=
√(
1
9
x− 2
9
x3 +
x5
5
)∣∣∣∣1
−1
=
√
8
45
=
2
√
2
3
√
5
.
Finalmente, hagamos
u3 =
1
‖w3‖
w3 =
3
√
5
2
√
2
(
−1
3
+ x2
)
=
√
5
2
√
2
(
−1 + 3x2
)
.
Entonces ‖u3‖ = 1 , u3 ⊥ u1 y u3 ⊥ u2 (ver ejemplo ??).
Por lo tanto
{u1, u2, u3} =
{
1√
2
,
√
3
2
x ,
√
5
2
√
2
(
−1 + 3x2
)}
es una base ortonormal de P2[x], la cual se obtuvo de β.