Herramientas algenbra lineal (14)

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40 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES
Luego F2 + F3 = R4.
h) dim(F1 +F2 +F3) = dim(F1 +F2)+dimF3−dim((F1 +F2)∩F3) = 4+2−2 = 4.
Luego F1 + F2 + F3 = R4.
(Observación: puesto que F1 + F2 = Rn, entonces F1 + F2 +G = R4, ∀G).
— — —
15. En E = R4[t], determinar F +G si
F = {p(t) ∈ E | p(t) = p′(0)t+ p′′(0)t3}
G = [1 + t2, t− t3, t4]
¿Es directa la suma?
Solución:
Un sistema de generadores de F+G se obtiene juntando bases de ambos subespacios.
Determinemos pues una base de F .
Sea p(t) = a0 +a1t+a2t
2 +a3t
3 +a4t
4, entonces p′(0) = a1 y p
′′(0) = 2a2, por lo que
F = {p(t) = a0 + a1t+ a2t2 + a3t3 + a4t4 ∈ E | p(t) = a1t+ 2a2t3}
= {a0 + a1t+ a2t2 + a3t3 + a4t4 ∈ E | a0 = 0, a2 = 0, a3 = 2a2, a4 = 0} = [t].
Por lo tanto F +G = [t, 1 + t2, t− t3, t4].
Estudiemos la dependencia o independencia lineal de estos cuatro vectores
λ1t+ λ2(1 + t
2) + λ3(t− t3) + λ4t4 = 0
equivalentemente
λ21 + (λ1 + λ3)t+ λ2t
2 − λ3t3 + λ4t4 = 0
y esto sólo es posible si y sólo si λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0.
Luego los vectores son independientes, por lo que podemos concluir que la suma es
directa (observar que dim(F +G) = dimF + dimG por tanto dimF ∩G = {0}).
Luego F ⊕G = [t, 1 + t2, t− t3, t4].
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16. En R5 consideremos los subespacios vectoriales seguientes:
F = [(1, 0, 2, 1, 3)]
G = [(1, 0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 1, 0)]
Encontrar F +G. ¿Es directa la suma?
Solución:
La reunión de bases de F y G proporcionan un sistema de generadores de F + G
si además son independientes pasarán a ser una base por lo que además la suma
será directa.
Estudiemos pues la independencia λ1(1, 0, 2, 1, 3) +λ2(1, 0, 0, 1, 0) +λ3(0, 1, 0, 0, 0) +
λ4(0, 0, 1, 1, 0) = (0, 0, 0, 0, 0)
Resolviendo el sistema tenemos λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0. Por lo que los vectores son
independientes.
Tenemos que una base de F+G es {(1, 0, 2, 1, 3), (1, 0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 1, 0)}
y la suma es directa.
— — —
17. Dar tres subespacios complementarios del subespacio vectorial
F = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x1 − x2 + 2x3 = 3x1 − x4 = 0}
Solución:
Determinemos una base de F :
x4 = 3x1, x2 = x1 + 2x3, por lo que (x1, x2, x3, x4) = (x1, x1 + 2x3, x3, 3x1) =
x1(1, 1, 0, 3) + x3(0, 2, 1, 0).
Tenemos F = [(1, 1, 0, 3), (0, 2, 1, 0)].
Busquemos subespacios complementarios de F que serán de dimensión 2 ya que
dimF = 2.
Aśı tenemos que tres subespacios complementarios de F , pueden ser:
1) F1 = [(0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)]
Claramente {(1, 1, 0, 3), (0, 2, 1, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} es una base de R4.
42 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES
2) F2 = [(0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)]
Claramente {(1, 1, 0, 3), (0, 2, 1, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)} es una base de R4.
3) F3 = [(1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0)]
Claramente {(1, 1, 0, 3), (0, 2, 1, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} es una base de R4.
— — —
18. Dar tres subespacios complementarios del subespacio vectorial
F = {p(t) ∈ R4[t] | p(0) + p′′(0) = p′′′(0) = 0}
Solución:
Determinemos una base del subespacio
F = {p(t) ∈ R4[t] | p(0) + p′′(0) = p′′′(0) = 0} =
= {a+ bt+ ct2 + dt3 + et4 ∈ R4[t] | a+ 2c = 6d = 0} =
= [2− t2, t, t4]
Busquemos complementarios que serán de dimensión 2 ya que dimF = 3.
1) F1 = [t
2, t3].
Claramente {2− t2, t, t4, t2, t3} es una base de R4[t].
2) F2 = [1, t
3].
Claramente {2− t2, t, t4, 1, t3} es una base de R4[t].
F3 = [1, t
2 + t3].
Claramente {2− t2, t, t4, 1, t2 + t3} es una base de R4[t].
— — —
19. Discutir cuales de las familias siguientes de vectores de R3 son bases ortonor-
males, con el producto escalar ordinario de R3.
a) {(0, 1, 0), (
√
2
2
, 0,
√
2
2
), (
√
2
2
, 0,−
√
2
2
)}
b) {(1,−1, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}
c) {(
√
2
2
,
√
2
2
, 0), (
√
2
2
,−
√
2
2
, 0)}