¿Cómo puedo probar que la conmutatividad de la suma, en un espacio vectorial, puede deducirse usando los demás axiomas de espacio vectorial?

No es una respuesta formal, pero ahí va:

Esta respuesta considera los espacios vectoriales en R3R3 asociado a un campo escalar en RR

Cuando se define un espacio vectorial. Se define lo siguiente:

-Se definen dos operaciones básicas. La suma de sus elementos con sus respectivas propiedades y la multiplicación de un escalar por uno de sus elementos del espacio vectorial con sus respectivos axiomas. 4 axiomas para la suma, 2 axiomas para la multiplicación y 2 axiomas mas que relacionan estas operaciones.

Con esto es suficiente para 'demostrar' la conmutatividad de la suma.

'Demostrar' entre comillas, porque no es necesario demostrar nada, forma parte de los axiomas de la operación suma definida en un espacio vectorial.

Uno de los axionas de la suma es la conmutatividad de los vectores, es decir:

a¯+b¯=b¯+a¯a¯+b¯=b¯+a¯

Como cada elemento de este espacio vectorial consta de una terna de números reales; para demostrar la conmutatividad de sus elementos, nos 'apayamos' en la propiedad de conmutatividad de la suma en el caso de números reales.

Entonces tenemos dos caminos:

O lo aceptamos como axioma o lo demostramos en una forma 'chapúcera' y poco formal.

En el siguiente video, de 'demuestra' la conmutatividad, uno de los axiomas de la operación suma de los Números Reales.

https://www.youtube.com/watch?v=am0N8WE_NnI&t=5s

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Adicionalmente para terminar de formar nuestro espacio vectorial, tambíen se define:

-Se definen los conceptos de Combinación Lineal, vectores linealmente Independientes ( L.I.) y vectores Linealmente dependientes ( L.D). Vectores en el sentido del Álgebra Lineal, no en el sentido del Cálculo Vectorial. Los conceptos de combinación lineal, lleva al concepto de bases de un espacio vectorial. Entre las muchas bases que se puedan formar se escoge por comodidad y conveniencia a la base canónica cuyos elementos de base tienen carácter unitario y son linealmente independientes.

-Una vez definido esto, definimos la operación de Producto interno, de los muchos productos internos que hay , se escoge por comodidad y conveniencia, el Producto Interno canónico. Lo que lleva a los conceptos de ortogonalidad.

Una vez definida nuestra operación de producto interno, podemos demostrar la ortogonalidad de los elementos de base, y como estos elementos de base son unitarios, demostramos su ortonormalidad.

Una base canónica entonces es un conjunto de vectores linealmente independientes, unitarios, ortogonales entre sí, y por lo tanto son un conjunto de vectores linealmente independientes y ortogonales.

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Ver la respuesta de Alberto Cid. ( En otra respuesta )

Ver los comentarios de Eduardo Tirado en esta misma respuesta.

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