¿Hasta qué punto se puede hacer una analogía entre el plano complejo y un espacio vectorial bidimensional?

Para hacer una analogía se deben definir las operaciones básicas.

• Espacio vectorial bidimensional:

-Suma:

A⃗ +B⃗ =C⃗ A→+B→=C→

Donde. Si:

A⃗ =(a1,a2)A→=(a1,a2) ; B⃗ =(b1,b2)B→=(b1,b2) Entonces:

C⃗ =(a1+b1,a2+b2)C→=(a1+b1,a2+b2)

-Multiplicación de un escalar por un vector

nA⃗ =C⃗ nA→=C→

Donde. Si

A⃗ =(a1,a2)A→=(a1,a2) Entonces

C⃗ =(na1,na2)C→=(na1,na2)

Multiplicación escalar:

Sean los vectores: A⃗ A→ y B⃗ B→

Se define la operación

A⃗ .B⃗ =|A⃗ ||B⃗ |cosθA→.B→=|A→||B→|cosθ

Donde θθ , es el ángulo que existe entre los dos vectores:

Consecuencia: Multiplicación de un vector por si mismo.

Sea el vector A⃗ A→

Al multiplicarlo por sí mismo se obtiene un escalar que es igual al cuadrado del módulo del vector. Es decir:

A⃗ .A⃗ =|A⃗ |2=A2A→.A→=|A→|2=A2

-Producto Vectorial: Se obtiene un vector perpendicular al plano. No tiene un equivalente en el plano complejo.

Sean los vectores:

A⃗ =(a1,a2)A→=(a1,a2)

B⃗ =(b1,b2)B→=(b1,b2)

A⃗ ×B⃗ =∣∣∣∣∣i^a1b1j^a2b2k^00∣∣∣∣∣A→×B→=|i^j^k^a1a20b1b20|

A⃗ ×B⃗ =(a1b2−a2b1)k^A→×B→=(a1b2−a2b1)k^

No está definida la operación de división de vectores ni la inversa de un vector. Así como también, no todas las matrices tienen inversa, solo las matrices cuadradas invertibles. Y para dividir una matriz entre otra se debe multiplicar a la primera matriz por la inversa de la segunda matriz.

• Plano complejo

El plano complejo está conformado por la superposición de dos ejes:

El eje de las abscisas en donde están representados los números reales y el eje de las ordenadas en donde están representados los números imaginarios puros, múltiplos de la unidad imaginaria ii definida como: i=−1−−−√i=−1

-Suma: Sean dos números complejos Z1Z1 y Z2Z2

Z1+Z2=ZZ1+Z2=Z

Donde. Si:

Z1=(a1,b1)Z1=(a1,b1) ; Z2=(a2,b2)Z2=(a2,b2) Entonces:

Z=(a1+a2,b1+b2)Z=(a1+a2,b1+b2)

-Multiplicación de un escalar por un complejo:

Donde. Si

Z=(a,b)Z=(a,b) Entonces

nZ=(na,nb)nZ=(na,nb)

-Multiplicación:

En este caso se prefiere la notación polar:

Z1=|ρ1|[cosθ1+isenθ1]Z1=|ρ1|[cosθ1+isenθ1]

Z2=|ρ2|[cosθ2+isenθ2]Z2=|ρ2|[cosθ2+isenθ2]

Al efectuar el producto se obtiene:

Z=|ρ1ρ2|[cos(θ1+θ2)+isen(θ1+θ2)]Z=|ρ1ρ2|[cos(θ1+θ2)+isen(θ1+θ2)]

Cuando se multiplica un complejo por otro complejo se obtiene otro número complejo ubicado en el mismo plano. ( Algo que no sucede con el producto vectorial )

En el conjunto de los números complejos, se define la multiplicación de un número complejo, por su complejo conjugado. Al hacer esto se obtiene el módulo al cuadrado del número complejo.

Z.Z∗=|Z|2Z.Z∗=|Z|2

Y esto es lo que se usa para normalizar la función de onda

∫ψ(r)ψ∗(r)dr=1∫ψ(r)ψ(r)∗dr=1

En donde el diferencial, depende de la geometría a usar, pudiendo ser esférica, cilíndrica, rectangular. Así como también puede reducirse a un problema bidimensional o unidimensional. Como el clásico problema de la partícula en una caja.

Complex Numbers

También está definida la potenciación y radicación de números complejos

Por lo que no se puede hacer una completa analogía entre ambos planos.

O sea la analogía es solo aparente, por lo que si es posible estudiar los circuitos de corriente alterna usando vectores en lugar de fasores, con algunas restricciones desde luego.

Así como también es posible estudiar campos electrostáticos y problemas de transmisión de calor en el plano complejo tal como aparecen en muchos problemas en los libros de Variable Compleja como por ejemplo el de Arthur A. Hausser Jr. publicado por el Fondo Educativo Interamericano.