¿Qué compone un espacio vectorial?

Basicamente, cualquier cosa. Supongamos que los escalares son los números reales (Aunque podemos usar los racionales, complejos, los enteros módulo 2 o cualquier otro campo).

Los espacios vectoriales son conjuntos cuyos elementos se pueden sumar, y multiplicar por escalares de manera "suficientemente bonita" y compatible. Es decir que la suma satisface lo que nos gusta que la suma de números reales satisfaga (Asociatividad, conmutatividad, existencia de idéntico e inversos), la multiplicación por escalares satisface lo que querríamos que satisficiera (Asociatividad, comportamiento del número 1), y podemos combinar las tres operaciones, suma de reales, suma de vectores y productos por escalares (Mediante las leyes distributivas). Mientras un conjunto satisfaga eso, se puede llamar un Espacio Vectorial.

Así que veamos qué cosas pueden formar espacios vectoriales. ¿Los puntos (a1,a2)(a1,a2) en R2R2 pueden formar un espacio vectorial? En efecto.

Pero ¿Qué pasa si tomamos TODOS los polinomios con coeficientes en RR? ¿Podemos sumarlos? Sí. ¿Podemos multiplicarlos por escalares? Sí. ¿Se cumplen las reglas mencionadas arriba? Sí. Entonces los polinomios forman un espacio vectorial.

¿Qué pasa si tomamos todas las funciones de los reales en sí mismos? ¿Seguimos teniendo un espacio vectorial? Pues sí. Podemos sumar funciones y multiplicarlas por escalares de manera adecuada.

Eso muestra que puede haber ejemplos bastante generales de espacios vectoriales. Pero podemos ir aún más lejos. Dado un conjunto cualquiera AA lo podemos "meter" dentro de un espacio vectorial, si definimos un nuevo conjunto

F(A)={r1a1+r2a2+⋯+rnan∣n∈N,r1,…,rn∈R,a1,…,an∈A}F(A)={r1a1+r2a2+⋯+rnan∣n∈N,r1,…,rn∈R,a1,…,an∈A}.

Este conjunto resulta ser un espacio vectorial, a pesar de que las operaciones r⋅a,a1+a2r⋅a,a1+a2 no son valores explícitos de AA. En términos estrictos, estamos construyendo un nuevo conjunto F(A)F(A) con suficientes elementos para que cada objeto de la forma ({r1,a1},{r2,a2},…,{rn,an})({r1,a1},{r2,a2},…,{rn,an})pueda tener un elemento asignado, el cual llamaremos r1a1+r2a2+⋯+rnanr1a1+r2a2+⋯+rnan, de modo que F(A)F(A) cumpla las reglas de un espacio vectorial. Un conjunto que sirve para dar una definición explícita de F(A)F(A) es simplemente el conjunto de todas las funciones de AA en los reales, donde identificamos un elemento a∈Aa∈A como la función a~:A→Ra~:A→R dada por a~(a)=1a~(a)=1 y a~(b)=0a~(b)=0 para b∈A,b≠ab∈A,b≠a.

Tradicionalmente lo que uno quisiera de un espacio vectorial es algo cuyos objetos puedan tener magnitud y dirección en algún sentido geométrico. Pero hoy, en realidad, un espacio vectorial puede consistir de cualquier cosa; los que tienen alguna interpretación geométrica estándar sobre los reales se llamarían espacios vectoriales normados, con producto interno, euclídeos, etc.