¿Qué es la base y la dimensión de un espacio vectorial, usando el formalismo del álgebra lineal?

En una anterior respuesta se di un enfoque desde el punto de vista del Cálculo Vectorial.

Cuando uno estudia el tema de vectores, se puede hacer desde el punto de vista del Cálculo Vectorial, que es como se hace en los cursos de Física I , Física II y Física III. Pero siempre hay alguien por ahí con aires de superioridad, sobre todo estudiantes de Algebra Lineal, que cuestionan el enfoque que se da en Cálculo Vectorial , porque según ellos el concepto de vector que ellos manejan es mucho mas general. Aquí un video que explica ambos puntos de vista.

Este video aclara la siguiente cuestión :

¿ Qué es un vector ?¿Es un segmento orientado que tiene dirección, sentido y magnitud , o es un elemento de un espacio vectorial ?

https://www.youtube.com/watch?v=eXA4806YuqY&t=7s

En una respuesta anterior , se respondió desde el punto de vista de Cálculo Vectorial

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Pero como siempre aparece por ahí algún estudiante de Algebra Lineal con cierto aire de superioridad criticando la versión o el enfoque demasiado simple ( según ellos ) del Cálculo Vectorial. Así que para todos eso estudiantes que siempre critican o cuestionan el enfoque del Cálculo Vectorial, aquí va esta respuesta usando el formalismo del Algebra Lineal para que de este modo dejen de fregar de una vez por todas.

Al que me refiero había puesto un comentario en esta respuesta.

Que decía mas o menos así: Esa no es una respuesta de Algebra Lineal y mas bien parece un curso de Calculo Vectorial , para estudiantes de los primeros ciclos de un curso de Física.

P.D. Como ya se dio cuenta a quien me refiero, parece que su comentario ha sido eliminado, ya que se dio cuenta que se puede contestar desde el punto de vista del Calculo Vectorial, así como desde la perspectiva del Algebra Lineal.

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Empezamos por la definición de lo que es un Espacio Vectorial. Un espacio vectorial o Espacio Lineal sobre un cuerpo, puede ser el cuerpo de los Números Reales RR o el de los Números Complejos CC. Aquí el cuerpo o campo sobre el cual va estar definido, va a ser el cuerpo de los Números Reales.

Aquí el Sr. Jesús Landart hace la aclaración de lo que en inglés se conoce como field ( campo) en español se conoce como cuerpo.

1. Espacio Vectorial:

Se llama Espacio Vectorial a un conjunto no vacío V≠∅V≠∅ si existe una función que satisface los siguientes axiomas:

• Existe una función

+:V×V⟶V+:V×V⟶V

+(u¯,v¯)=u¯+v¯+(u¯,v¯)=u¯+v¯ llamada suma , que presenta las siguientes propiedades.

Asociativa, Conmutativa, Elemento Neutro y

Par cada u¯∈Vu¯∈V ∃u¯′∃u¯′ llamado opuesto que cumple:

u¯u¯ + u¯′u¯′ = 0 . Al opuesto se le denota por −u¯−u¯

Entonces, la propiedad anterior se expresa como:

u¯+−(u¯)u¯+−(u¯) = 0

• Existe una función:

⋅⋅ : R×V⟶VR×V⟶V

⋅(a,u¯)=au¯⋅(a,u¯)=au¯ llamado producto por un escalar que presenta las siguientes propiedades.

a(bu¯)=(ab)u¯a(bu¯)=(ab)u¯

1.u¯=u¯∀u¯∈V1∈R1.u¯=u¯∀u¯∈V1∈R

1 es el elemento unidad en el conjunto de Números Reales RR

Además de las siguientes relaciones entre la suma y el producto por un escalar, son los llamados axiomas de distribución.

(a+b)v¯=av¯+bv¯a,b∈R;v¯∈V(a+b)v¯=av¯+bv¯a,b∈R;v¯∈V

a(u¯+v¯)=au¯+av¯a∈R;u¯,v¯∈Va(u¯+v¯)=au¯+av¯a∈R;u¯,v¯∈V

La diferencia de dos elementos de un espacio vectorial, u¯,v¯∈Vu¯,v¯∈V se define como:

u¯−v¯=u¯+(−v¯)u¯−v¯=u¯+(−v¯)

A los elementos de un espacio vectorial, se le da el nombre de vectores

Ejemplos

1. V=RV=R con las operaciones de suma y producto en RR. (El conjunto de los Números Reales forma un espacio vectorial )

2. V=R2V=R2 Con la suma y producto de pares ordenados.

SUMA:

Dados dos puntos a¯=(a1,a2)a¯=(a1,a2) y b¯=(b1,b2)b¯=(b1,b2)se define la suma a¯+b¯a¯+b¯ como el par ordenado.

a¯+b¯=(a1+b1,a2+b2)a¯+b¯=(a1+b1,a2+b2)

PRODUCTO:

Dados a¯=(a1,a2)a¯=(a1,a2) y t∈Rt∈R se define el producto ta¯ta¯ como:

ta¯=(ta1,ta2)ta¯=(ta1,ta2)

3. V=R3V=R3 Con la suma de ternas ordenadas y producto por un escalar de manera similar a el caso R2R2

SUMA:

Dados dos puntos a¯=(a1,a2,a3)a¯=(a1,a2,a3) y b¯=(b1,b2,b3)b¯=(b1,b2,b3)se define la suma a¯+b¯a¯+b¯ como:

a¯+b¯=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)a¯+b¯=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)

PRODUCTO:

Dados a¯=(a1,a2,a3)a¯=(a1,a2,a3) y t∈Rt∈R se define el producto ta¯ta¯ como:

ta¯=(ta1,ta2,ta3)ta¯=(ta1,ta2,ta3)

4. Rm×nRm×n = { matrices m x n }

Con las operaciones:

Suma:

[aij]+[bij]=[aij+bij][aij]+[bij]=[aij+bij]

Producto:

λ[aij]=[λaij]λ[aij]=[λaij]

Propiedades: En un espacio vectorial se verifican las siguientes propiedades:

Propiedades (P1):

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-El cero es único.

-Para cada u¯∈Vu¯∈V su opuesto es único.

-0.v¯=0∀v¯∈V0.v¯=0∀v¯∈V

-(−1)v¯=−v¯∀v¯∈V(−1)v¯=−v¯∀v¯∈V

-t0¯=0¯∀t∈Rt0¯=0¯∀t∈R

Si: tv¯=0tv¯=0 y t≠0t≠0 entonces: v¯v¯ = 0

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Subespacios: Un subespacio cumple con las operaciones de suma y producto. Es decir cumple con los axiomas de suma, producto y distribución. Sin embargo no es necesario demostrar cada uno de los axiomas, solamente debe verificar la siguiente propiedad.

Propiedad 2:

Un subconjunto V′≠∅V′≠∅ de VV es un subespacio si y solo si.

au¯+bv¯∈V′∀u,v∈V′;a,b∈Rau¯+bv¯∈V′∀u,v∈V′;a,b∈R …………..(P2)

Los subespacios 0 y V se llaman sub-espacios triviales, cualquier otro subespacio se llama subespacio propio. Por ejemplo, el espacio vectorial R2R2 tiene como subespacios propios a toda recta que pasa por el origen de coordenadas.

Ejemplos:

-Una recta que pasa por el origen es sub espacio de R2R2

-RR es un subespacio de R2R2 que a su vez es un subespacio de R3R3

Propiedad 3:

Si UU y WW son dos subespacios de VV, se define la suma de subespacios como:

U+W={u¯+w¯/u¯∈U,w¯∈W}U+W={u¯+w¯/u¯∈U,w¯∈W}

Luego: U+WU+W es un subespacio de VV ………………..(P3)

2. Combinación lineal:

Se llama combinación lineal de v¯1,v¯2,…v¯r∈Vv¯1,v¯2,…v¯r∈V a toda expresión de la forma:

a1v¯1+a2v¯2+……+arv¯r;aj∈R,j=1,2,…ra1v¯1+a2v¯2+……+arv¯r;aj∈R,j=1,2,…r

Propiedad 4: Si v¯1,v¯2,…v¯r∈Vv¯1,v¯2,…v¯r∈V, donde VV es un espacio vectorial, entonces:

L{v¯1,v¯2,…v¯r}={a1v¯1+a2v¯2+……+arv¯r/aj∈R}L{v¯1,v¯2,…v¯r}={a1v¯1+a2v¯2+……+arv¯r/aj∈R} es un subespacio de V………………….(P4)

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Un espacio VV es finitamente generado ( f. g.) si existe un conjunto finito de vectores {v¯1,v¯2,…v¯r}{v¯1,v¯2,…v¯r} tal que V=L{v¯1,v¯2,…v¯r}V=L{v¯1,v¯2,…v¯r}

Ejemplos:

RR es generado por 1. Ya que R=L{1}R=L{1}

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R2R2 es generado por ( 1 , 0 ) y ( 0 , 1 ). Esto es

R2R2 = L{(1,0);(0,1)}L{(1,0);(0,1)}

Pues: (x,y)=(x,0)+(0,y)(x,y)=(x,0)+(0,y)

=x(1,0)+y(0,1)∈L{(1,0);(0,1)}=x(1,0)+y(0,1)∈L{(1,0);(0,1)}

Hay que aclarar que R2R2 esta generado por infinitos pares de vectores.

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R3R3 es generado por (0,0,1);(0,1,0);(0,0,1)(0,0,1);(0,1,0);(0,0,1) .Esto es

R3=L{(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)}R3=L{(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)}

Igual que en el caso anterior, hay que aclarar que R3R3 esta generado por infinitos tripletes de vectores.

3. Independencia lineal, Bases y Dimensión.

Sea V≠0V≠0 un espacio vectorial, se dice que los vectores v¯1,v¯2,…v¯m∈Vv¯1,v¯2,…v¯m∈V son linealmente dependientes ( L. D.) si existen escalares a1,a2,…am∈Ra1,a2,…am∈R no todos nulos tal que:

a1v¯1+a2v¯2+……amv¯ma1v¯1+a2v¯2+……amv¯m = 0 ( L. D. )

Sea V≠0V≠0 un espacio vectorial, se dice que los vectores, v¯1,v¯2,…v¯r∈Vv¯1,v¯2,…v¯r∈V son linealmente independientes ( L. I.) si

a1v¯1+a2v¯2+…amv¯m=0a1v¯1+a2v¯2+…amv¯m=0 ( L. I. ) Lo que implica que todos los escalares son iguales a cero es decir:

a1=a2=…am=0a1=a2=…am=0 ( L. D.)

Dicho de otro modo modo: los vectores v¯1,v¯2,…v¯r∈Vv¯1,v¯2,…v¯r∈V son L. I. Si la única forma de escribir el cero es como combinación lineal de estos vectores es:

0v¯1+0v¯2+……+0v¯m=00v¯1+0v¯2+……+0v¯m=0

Ejemplo 1:

Averiguar si u¯=(2,5)u¯=(2,5) y v¯=(3,4)v¯=(3,4) son L. D. o L. I.

Solución:

au¯+bv¯=0au¯+bv¯=0

Entonces:

a(2,5)+b(3,4)=(0,0)a(2,5)+b(3,4)=(0,0)

a[25]+b[34]=[00]a[25]+b[34]=[00]

[25]a+[34]b=[00][25]a+[34]b=[00]

Escribiendo como una ecuación matricial:

[2534][ab]=[00][2354][ab]=[00]

Formando el sistema de ecuaciones:

2a+3b5a+4b=0=02a+3b=05a+4b=0

La única solución es a = b = 0. Por lo tanto son Linealmente independientes ( L I ).

Ejemplo 2:

Averiguar si u¯=(2,3)u¯=(2,3) y v¯=(4,6)v¯=(4,6) son L. I. ó L. D.

Solución:

au¯+bv¯=0au¯+bv¯=0

Entonces:

a(2,3)+b(4,6)=(0,0)a(2,3)+b(4,6)=(0,0)

a[23]+b[46]=[00]a[23]+b[46]=[00]

[23]a+[46]b=[00][23]a+[46]b=[00]

Escribiendo como una ecuación matricial:

[2436][ab]=[00][2346][ab]=[00]

Formando el sistema de ecuaciones

2a+4b3a+6b=0=02a+4b=03a+6b=0

Debido a que el determinante del sistema es cero, existen infinitas soluciones.

a = 1 y b = -2

a = 2 y b = -4

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En forma práctica se hace por medio de determinantes:

Ejemplo 1.

Se halla el determinante del sistema:

∣∣∣2354∣∣∣|2534|

Dicho determinante es ≠0≠0 por lo tanto los elementos del espacio vectorial son Linealmente independientes ( L. I )

Ejemplo 2.

Se halla el determinante del sistema

∣∣∣2346∣∣∣|2436|

Dicho determinante es igual a 0 por lo tanto los elementos del espacio vectorial son Linealmente dependientes ( L. D. )

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Ahora si, teniendo todo ese conocimiento previo, ahora si pasamos formalmente a definir lo que es base y dimensión de un espacio vectorial.

Base: Un subconjunto S={v¯1,v¯2,…,v¯n}⊂VS={v¯1,v¯2,…,v¯n}⊂V se llama base si:

i) SS genera a VV

ii) SS es linealmente independiente. ( L. I. )

Observaciones:

1. Un espacio vectorial ≠0≠0 tiene muchas bases.
2. Existen espacios vectoriales con infinitas bases.

Ejemplos:

1. V=RV=R tiene por base a cualquier número real ≠0≠0. En particular {1}{1} es una base.

2. Una base deV=R2V=R2 es {(1,0);(0,1)}{(1,0);(0,1)}. Esto es lo que se llama una base canónica.

3. Una base V=R3V=R3 es:

e1=(1,0,0);e2=(0,1,0);e3=(0,0,1)e1=(1,0,0);e2=(0,1,0);e3=(0,0,1)

Para completar el concepto de base diremos que el espacio cero { 0 } , tiene por base al conjunto ∅∅.

Propiedades adicionales:

Todo espacio Vectorial, posee una base canónica……. (P5)

Dos bases cualesquiera de un E. V. poseen igual número de elementos…… (P6)

Dimensión: Dado un espacio vectorial V , se llama dimensión de V al número de elementos de una base y se denota como dim V.

Ejemplos :

dim (0) = 0

dim RR= 1

dim R2R2 = 2

dim R3R3= 3

dim RnRn = n

La ecuación de un plano en el espacio R3R3 se puede expresar mediante la combinación lineal de 2 vectores, por lo tanto. La dimensión de ese espacio vectorial es 2.

La ecuación de una recta que pasa por el origen se puede expresar como la multiplicación de un escalar por un vector. Por lo tanto la dimensión de ese espacio vectorial es 1.

Resumen:

Para definir lo que es una base y la dimensión de un espacio vectorial se han hecho las siguientes definiciones.

-Espacio Vectorial.

-Subespacios Vectoriales.

-Combinación Lineal.

-Dependencia Lineal ( L. D. ) ( L. I. )

-Base y dimensión.

No se ha necesitado definir lo que es ortogonalidad, ortonormalidad, producto interno, módulo de un vector , ni vectores unitarios.

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Respuesta, usando el formalismo del Cálculo Vectorial:

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