Ejemplo5-4 algebra lineal

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Ejemplo 5.4:
Calcular los autovalores y los autovectores de
A =
 1 1 11 1 −1
1 −1 1

Solución.
pA(t) = det(A− tI3) =
∣∣∣∣∣∣
1− t 1 1
1 1− t −1
1 −1 1− t
∣∣∣∣∣∣ = −(t− 2)2(t+ 1)
Por lo tanto
pA(t) = 0 si y sólo si t = 2 ’o t = −1.
Vemos que λ1 = 2 es un autovalor de A de multiplicidad algebraica 2 y λ2 = −1 es un
autovalor de A de multiplicidad algebraica 1.
Calculemos los autoespacios E2 y E−1, para ello debemos resolver los correspondientes
sistemas
(A− 2I3)
 xy
z
 =
 00
0
 y (A+ I3)
 xy
z
 =
 00
0

Resolvamos cada uno de estos sistemas.
A− 2I3 =
 −1 1 11 −1 −1
1 −1 −1
 F2 → F2 + F1→
F3 → F3 + F1
 −1 1 10 0 0
0 0 0

De donde, −x+ y + z = 0, o bien x = y + z, por lo tanto, la solución del primero de los
sistemas es  xy
z
 =
 y + zy
z
 = y
 11
0
+ z
 10
1

Aśı que
E2 = gen

 11
0
 ,
 10
1


Cualquier vector no nulo perteneciente a E2 es un autovector de A asociado a λ1 = 2.
A+ I3 =
 2 1 11 2 −1
1 −1 2
F1 ↔ F2→
 1 2 −12 1 1
1 −1 2
 F2 → F2 − 2F1→
F3 → F3 − F1
 1 2 −10 −3 3
0 −3 3

F2 → −13F2→
 1 2 −10 1 −1
0 −3 3
 F1 → F1 − 2F2→
F3 → F3 + 3F2
 1 0 10 1 −1
0 0 0

2
De donde {
x +z = 0
y −z = 0 o bien
{
x = −z
y = z
por lo tanto, la solución del segundo de los sistemas es xy
z
 =
 −zz
z
 = z
 −11
1

Luego
E−1 = gen

 −11
1


Cualquier vector no nulo perteneciente a E−1 es un autovector de A asociado a λ2 = −1.
Además, se tiene que λ1 = 2 tiene multiplicidad geométrica 2 y λ2 = −1 tiene multiplici-
dad geométrica 1.