¿Todavía es posible que un matemático sea competente en la mayoría de las áreas o campos de las matemáticas?

No, ya no es posible y ha sido imposible durante aproximadamente 100 años. Se considera que Hilbert y Poincaré son los últimos matemáticos en dominar tanta matemática de su época que podrían crear y construir en la mayoría de los campos.

Las matemáticas han crecido tanto en amplitud como en profundidad, de tal manera que es extremadamente difícil producir investigaciones originales en más de unas pocas áreas, y escribir documentos que abarquen "todos" los campos modernos de las matemáticas es realmente imposible.

Como ejemplo, el medallista Fields [1] Tim Gowers [2] es conocido por haber realizado un trabajo innovador en varios campos distintos: la teoría de los espacios de Banach y la teoría de números combinatorios, para representar aproximadamente los dos principales. Esto es sorprendente, pero también ayuda a establecer los límites de lo que incluso los mejores matemáticos de hoy pueden lograr. Gowers no trabaja en la teoría de modelos, la geometría algebraica, la teoría de la representación, las ecuaciones diferenciales parciales, la teoría de grupos o cualquier otro número de dominios que simplemente están fuera de sus campos de especialización.

De AllenS - Trabajo propio, Dominio público, File:Timothy Gowers Washington 2009.jpg

En 2010, mientras asistía al Congreso Internacional de Matemáticas, Gowers escribió:

...Me decidí por dos prodigios: Marianna Csörnyei y Jacob Lurie. Marianna, la conozco bastante bien desde hace muchos años, y trabaja en áreas que se espera que comprenda razonablemente bien (lo cual no es lo mismo que decir que las entiendo razonablemente bien, pero de hecho, generalmente sigo mas o menos un poco de sus conversaciones). Jacob Lurie es todo lo contrario: nunca lo había conocido, ni siquiera lo había visto, y no tenía absolutamente ninguna posibilidad de entender nada de lo que decía, así que iba con el único propósito de mirar boquiabierto..

Aquí está uno de los matemáticos más destacados de nuestro tiempo, admitiendo abiertamente que el trabajo de un colega está completamente fuera de su alcance. Tienes que admirar la honestidad (y el humor maravillosamente discreto), pero, francamente, esto no es sorprendente: las fronteras de la investigación en teoría de categoría superior (campo de Lurie), o lógica, o geometría aritmética o casi cualquier cosa hoy en día son casi completamente oscuras. a nadie más que a los expertos en esos dominios.

Nada de esto es peculiar de Gowers, por supuesto. Lo mismo puede decirse de cualquier medallista Fields en los últimos 70 años, o de cualquier matemático destacado. Incluso los más diversos como Serre, Gel'fand, Connes, Manin o más recientemente Tao tienen claros dominios en los que se centran, aunque asombrosamente amplios y profundos.

Asista a una charla coloquial en cualquier departamento de matemáticas y verá que casi todas las charlas tienen dos partes: una encuesta simplificada, de alto nivel y casi metafórica de la esencia del tema, y ​​luego una excursión a los detalles reales de una prueba que sigue siendo de muy alto nivel y es claramente incomprensible para cualquiera, excepto dos miembros de la facultad y un estudiante de posgrado, cuyo asesor es el propio orador.

No es broma. Así es como están las cosas, lo que le dice que la mayoría de los matemáticos ni siquiera pueden comprender completamente los trabajos de otros fuera de su dominio, y mucho menos producir documentos en dominios tan diferentes.

Este no es el mejor estado de estos temas, pero, hasta que encontremos formas de mejorar drásticamente las habilidades de nuestras mentes o la duración de nuestra vida digna de aprendizaje, sospecho que así es como seguirá siendo.

[1] Medalla Fields - Wikipedia, la enciclopedia libre

[2] William Timothy Gowers - Wikipedia, la enciclopedia libre