¿Por qué Chile se llama Chile?

El origen real del nombre no es exacto, existen muchas versiones y teorías del origen de nombre de Chile, pero nadie sabría decir cuál es la correcta u original.

Cuando los españoles llegaron a lo que hoy es Perú, ya había registro de lo que estaba más al sur del Desierto de Atacama le nombraban "Chili". A partir de la Conquista, los españoles siguieron llamando Chili a la región del sur, a veces también conocida como valle de Chile, además de Nueva Extremadura, Reino de Chile, y finalmente Capitanía General de Chile, nombre que se extendió posteriormente a todo el actual país.

Aquí te dejo algunas:

1. El primero y que casi todos en Chile se conocen por en chiste de Bombo Fica, un humorista chileno, es que Chile tendría un origen onomatopeyo, y este sonido viene del canto de un pájaro que se llama trile el cual emite un sonido parecido a "¡chile, chile!"
2. Otra versión tiene origen del quechua, la palabra Chili o Tchili en ése idioma significa frío o helado. También hay otros autores que afirman que la palabra Chili deriva del vocablo quechua “Chiri” que en español significa “Confín” pues así los incas llamaban a la parte sur de su imperio.
3. En la segunda mitad del siglo XVII se postuló que el nombre provendría o del epónimo mapuche Tili, el cacique picunche que habría gobernado el valle del Aconcagua a la llegada de los incas en su expedición de conquista de fines del siglo XV, o del vocablo quechua chili (que juntas, Tili y Chili significaría 'la flor y nata de la tierra').
4. Hoy la etimología más aceptada de la palabra Chile sería la que viene del aymara, “Chilli” en el cual hay tres significados (los cuales son traducciones estimadas, ya que no existe una traducción oficial), son el “confín del mundo”, “el fin de la tierra” y el otro “el lugar más alejado o más hondo de la tierra”

Espero que mi respuesta te haya servido.