¿Son las constantes físicas números racionales o número irracionales?

No tengo una respuesta definitiva, yo mismo hice esta pregunta y solicité respuestas a varios usuarios especialistas en el tema, que han dado comentarios bastante interesantes. Algunas reflexiones propias a lo dicho por ellos:

1. No tiene sentido preguntar si constantes dimensionales como G (constante gravitatoria), c (velocidad de la luz) o e (carga elemental) son racionales o irracionales ya que dependen del sistema de unidades. Si en lugar de usar el metro escogemos hábilmente otra unidad de longitud racionalmente inconmensurable respecto a al metro ordinario, podemos convertir algunas de estas unidades en números racionales o irracionales.
2. Lo que sí tiene sentido es preguntarse si una constante adimensional (o cociente de cosas físicas de las mismas unidades) es un número irracional o no, ya dicho valor será racional o irracional simultáneamente en todos los sistemas de unidades imaginables. Por ejemplo, la constante de estructura fina αα que desempeña un papel fundamental en la teoría cuántica del electromagnetismo es un número adimensional que vale aproximadamente 1/137. La razón giromagnética g clásicamente vale g = 2 mientras que en teoría cuántica de campos tenemos g = 2,0023193043617… . Este valor ha sido computado mediante un desarrollo en serie y comprobado empíricamente.
3. Mi idea es que la mayor parte de constantes adimensionales deben ser irracionales, y la razón es que no representan nada elemental sino cosas calculables a partir de otros números por ejemplo. La relación entre la masa de un protón y un electrón mp/memp/me casi con seguridad NO es un número racional, porque el protón está formado por 3 quarks en interacción y su masa efectiva depende de cómo están ligados entre sí los quarks, así que para calcularlo necesitaríamos hacer integrales y desarrollos cuyo resultado analítico casi siempre parece ser irracional. Puede que un día descubramos unas constantes físicas auténticamente fundamentales que sí puedan ser racionales, pero no creo que sean las que hoy tenemos por fundamentales (la masa del protón se pensó que era fundamental pero hoy en día sabemos que no lo es).
4. Finalmente existe un argumento probabilista, basado en la teoría de la probabilidad y en la medida de Lebesgue. Si tomo un intervalo numérico por ejemplo todos los números entre 0 y 1 (o entre cualesquiera otros valores), los números racionales en ese intervalo son un conjunto de medida cero. Eso significa que cualquier proceso auténticamente aleatorio dará un número racional con probabilidad 0 (nuestros ordenadores y procedimientos dan casi siempre números racionales porque debido a la falta de memoria no funcionan de manera completamente aleatoria sino que aproximan al racional más cercano). Si las constantes elementales del universo se fijaron de manera aleatoria entonces la probabilidad de que sean racionales debe ser cero. Aunque no podemos descartar que ciertas constantes no se fijaran de manera aleatoria y entonces el cociente de dos de ellas pudiera ser de hecho racional.

En cualquier caso desde el punto de vista de la física es indiferente, nada puede ser medido con una precisión infinita (debido a la relación de incertidumbre de Heisenberg), así que en física los números irracionales como π,2–√,ϕ,e,γ,…π,2,ϕ,e,γ,… sólo son instrumentos de cálculo y su valor preciso es indiferente desde un punto de vista práctico.