es par?

Recordemos, para los que no lo tengan fresco, la definición de lo que es un número binomial:

(nk)=nkn−1k−1…n−k+22n−k+11(nk)=nkn−1k−1…n−k+22n−k+11

El asunto de si este número es par o impar va a depender de si cada vez que aparece el factor 2 en el numerador, aparece también el denominador (si esto sucede el número es impar), si esto no sucede habrá más factores 2 en el numerador y entonces el número será par. Antes de poder demostrar si algo es de cierta manera conviene conocer como es la respuesta.
La mayor parte de matemáticos empiezan con ejemplos simples y tratan de ir complicándolos a ver si ven una regla general. En este caso los números combinatorios pueden escribirse en forma del llamado triángulo de Pascal, a partir de la propiedad simple de que:

(nk)+(nk+1)=(n+1k+1)(nk)+(nk+1)=(n+1k+1)

Esto a mucha gente no le dirá mucho, pero si dibujamos el triángulo y lo pintamos de colores según si el número de abajo es par o impar, emerge un patrón clarísimo:

Se ve que los números impares forman triángulos autosemejantes que recuerdan a la alfombra triangular de Sierpińsky (que por cierto es un objeto fractal cuya dimensión fracal es 1<d≈1,5849<21):

Vistas ambas figuras no es difícil darse cuenta que la respuesta tiene que ver cuanto hay que bajar para en esta escalera triangular para que aparezca un nuevo supertriángulo central. La respuesta a la pregunta se encuentra si se observa primero que:

(nk)(nk)

es par (para todo 1≤k≤n−11≤k≤n−1) si existe un número m∈Nm∈N, tal que n=2mn=2m. Obviamente

(nn)=(n0)=1(nn)=(n0)=1

Estos dos últimos casos no tienen mucha gracia, ya que dan el cotorno exterior del triángulo, done siempre aparecerá el número 1. A partir de esa observación, se trata de ver si el número combinatorio forma parte de la alfombra trigangular de Sierpińsky (impares) o los agujeros e la misma (pares).

Para números grandes necesitamos que n→∞n→∞ y en ese caso puede verse que a la kk está n/2n/2, la probabilida de que le número en cuestión sea par tiende a 1 (por ahí va la respuesta).

Varias de las afirmaciones anteriores no son difíciles de demostrar, pero si no se usan las técnicas adecuadas se convierten en demostraciones engorrosas. Lo mejor es usar aritmética modular en el anillo Z2Z2 y demostrar que en el anillo de polinomios Z2[x]Z2[x], se cumple que:

(1+x)2m=1+x2m(1+x)2m=1+x2m

Y a partir de ahí calcular:

(1+x)2mq=(1+x2m)q(1+x)2mq=(1+x2m)q

donde aparecen los coeficientes binomiales especiales que dan las fronteras entre los huecos triangulares de la alfombra triangular de Sierpińsky. Con esta forma la demostración es breve y ocupa tal vez página y media, pero sin ellas necesitamos páginas y páginas de comprobaciones con aritmética elemental para probar lo mismo (este es un ejemplo de como la matemática abstracta nos ayuda ahorrarnos tiempo y trabajo).