1 Fracciones parciales

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FRACCIONES PARCIALES 
 
Introducción a las fracciones parciales 
 
 
Sabemos que por adición algebraica, la 
siguiente operación de suma de 
fracciones da el resultado indicado. 
 
 
 
2
54
 
 
22
631
 
)1)(2(
)2(3)1(1
1
3
2
1
2
2
−−
−
=
−−+
−++
=
+−
−++
=
+
+
−
xx
x
xxx
xx
xx
xx
xx
 
 
El proceso inverso de moverse desde 
 
2
54
2
−−
−
xx
x
 hacia 
1
3
2
1
+
+
− xx
 es 
conocido como solución en fracciones 
parciales. 
 
 
Para resolver una expresión algebraica 
en fracciones parciales debe tenerse en 
cuenta lo siguiente. 
 
 
(i) el denominador debe poder 
factorizarse. En el ejemplo anterior, 
22 −− xx se puede factorizar como 
)1)(2( +− xx , y 
 
(ii) el numerador debe ser de al menos 
un grado menor que el denominador. 
En el ejemplo anterior, )54( −x es 
de grado 1, ya que la mayor potencia 
de x es x
1
 y )2( 2 −− xx es de grado 
2. 
 
 
Cuando el grado del numerador es 
igual o mayor al grado del 
denominador, el numerador debe ser 
dividido hasta que se obtenga un 
numerador de menor grado que el 
denominador. 
 
 
 
Existen básicamente tres tipos de 
fracciones parciales (ver tabla 1), donde 
f(x) se asume que es de menor grado que 
el respectivo denominador y donde A, B 
y C son constantes a ser determinadas. 
La última expresión cbxax ++2 es una 
expresión cuadrática que no debe 
factorizarse obteniendo 
indeterminaciones o números complejos. 
 
 
 
Tabla 1 
Tipo El denominador contiene Expresión Forma de las fracciones parciales 
1 Factores lineales 
))()((
)(
cxbxax
xf
+−+
 
)()()( cx
C
bx
B
ax
A
+
+
+
+
+
 
2 Factores lineales repetidos 3)(
)(
ax
xf
+
 
32 )()()( ax
C
ax
B
ax
A
+
+
+
+
+
 
3 Factores cuadráticos 
))((
)(
2
dxcbxax
xf
+++
 
)()( 2 dx
C
cbxax
BAx
+
+
++
+
 
 
Problemas con factores lineales 
 
Ejercicio 1. Resolver la siguiente 
expresión en fracciones parciales. 
 
32
311
2
−+
−
xx
x
 
 
El denominador se puede factorizar 
como )3)(1( +− xx y el numerador es de 
un grado menos que el denominador, por 
lo tanto la expresión puede resolverse en 
fracciones parciales. 
 
)3()1()3)(1(
311
+
+
−
=
+−
−
x
B
x
A
xx
x
 
 
Por adición algebraica, tenemos. 
 
)3)(1(
)1()3(
)3)(1(
311
+−
−++
=
+−
−
xx
xBxA
xx
x
 
 
Debido a que los denominadores son 
exactamente igual en ambos lados de la 
igualdad, por lo tanto, sus numeradores 
también lo son. 
 
)1()3(311 −++=− xBxAx 
 
Para determinar los valores de A y B, se 
eligen valores de x de tal manera que los 
términos en A ó en B se vuelvan cero. 
 
Si x = 1, entonces 
 
2
4
8
48
)0()4(311
)1()31()1(311
=
=
=
+=−
−++=−
A
A
A
BA
xBA
 
 
 
 
Si x = -3, entonces 
 
5
5
4
20
)4(20
)13()33()3(311
−=
−=
−
=
−=
−−++−=−−
B
B
B
BA
 
 
Asi, 
 
)3(
5
)1(
2
)3)(1(
311
)3(
5
)1(
2
)3)(1(
311
)3()1()3)(1(
311
+
−
−
=
+−
−
+
−
+
−
=
+−
−
+
+
−
=
+−
−
xxxx
x
xxxx
x
x
B
x
A
xx
x
 
 
 
Ejemplo 2. Resolver la siguiente 
expresión en fracciones parciales. 
 
23
1
2
2
+−
+
xx
x
 
 
El denominador es del mismo grado que 
el numerador, por lo tanto hay que 
efectuar la división. 
 
13 
1 23
2310 
2
22
−
−+−
+−++
x
xx
xxxx
 
 
Por lo tanto, 
 
)2)(1(
13
1 
23
13
1
23
1
22
2
−−
−
+=
+−
−
+=
+−
+
xx
x
xx
x
xx
x
 
 
Tomemos la parte correspondiente a 
)2)(1(
13
−−
−
xx
x
 y resolvámosla en 
fracciones parciales. 
 
)2()1()2)(1(
13
−
+
−
=
−−
−
x
B
x
A
xx
x
 
 
Por suma algebraica tenemos, 
 
)2)(1(
)1()2(
)2)(1(
13
)2()1()2)(1(
13
−−
−+−
=
−−
−
−
+
−
=
−−
−
xx
xBxA
xx
x
x
B
x
A
xx
x
 
 
Igualando los numeradores tenemos, 
 
)1()2(13 −+−=− xBxAx 
 
Si x = 1, tenemos, 
 
2
2
)11()21(1)1(3
−=
−=
−+−=−
A
A
BA
 
 
Si x = 2, tenemos, 
 
5
5
)12()22(1)2(3
=
=
−+−=−
B
B
BA
 
 
Por lo tanto, 
 
)2(
5
)1(
2
)2)(1(
13
)2()1()2)(1(
13
−
+
−
−=
−−
−
−
+
−
=
−−
−
xxxx
x
x
B
x
A
xx
x
 
 
 
 
 
 
La expresión completa queda de la 
siguiente manera. 
 
)2(
5
)1(
2
1
23
1
2
2
−
+
−
−=
+−
+
xxxx
x
 
 
 
 
Problemas con factores lineales 
repetidos 
 
 
Ejemplo 3. Resolver la siguiente 
expresión en fracciones parciales. 
 
2)2(
32
−
+
x
x
 
 
El denominador contiene el factor lineal 
repetido 2)2( −x . 
 
22 )2()2()2(
32
−
+
−
=
−
+
x
B
x
A
x
x
 
 
Común denominador 2)2( −x . 
 
22 )2(
)2(
)2(
32
−
+−
=
−
+
x
BxA
x
x
 
 
Igualando los numeradores. 
 
BxAx +−=+ )2(32 
 
Si x = 2, entonces 
 
B
BA
=
+−=+
7
)22(3)2(2
 
 
Por comparación de término vamos 
hallar el valor de A. 
 
Ya que una identidad es verdadera para 
todos los valores no conocidos, los 
coeficientes de los términos similares 
pueden ser igualados. 
 
BAAxx
BxAx
+−=+
+−=+
232
)2(32
 
 
Términos con x: 
 
A=2 
 
Términos sin x: 
 
BA +−= 23 
 
Pero sabemos que B = 7, por lo tanto, 
 
2
2
73
723
=
=
−
−
+−=
A
A
A
 
 
Por lo tanto, 
 
22 )2(
7
)2(
2
)2(
32
−
+
−
=
−
+
xxx
x
 
 
 
Ejemplo 4. Resolver en fracciones 
parciales la siguiente expresión. 
 
2
2
)1)(3(
1925
−+
−−
xx
xx
 
 
El denominador es una combinación de 
un factor lineal y de un factor lineal 
repetido. 
 
22
2
)1()1()3()1)(3(
1925
−
+
−
+
+
=
−+
−−
x
C
x
B
x
A
xx
xx
 
Común denominador 2)1)(3( −+ xx 
 
2
2
2
2
)1)(3(
)3(
)1)(3()1(
)1)(3(
1925
−+
++
−++−
=
−+
−−
xx
xC
xxBxA
xx
xx
 
Igualando los numeradores tenemos, 
 
)3( 
)1)(3()1(1925
22
++
−++−=−−
xC
xxBxAxx
 
 
Si x = -3, tenemos, 
 
2
1632
)33( )13)(33( 
)13(19)3(2)3(5 22
=
=
+−+−−+−+
−−=−−−−
A
A
CB
A
 
Si x = 1, tenemos, 
 
4
416
)31()11)(31()11(19)1(2)1(5 22
−=
=−
++−++−=−−
C
C
CBA
 
Encontremos el valor de B, por 
comparación de términos. 
 
CCx
BBxBxAAxAxxx
xC
xxBxxAxx
3 
3221925
)3( 
)32()12(1925
222
222
++
−+++−=−−
++
−+++−=−−
 
Términos con x
2
: 
 
BA +=5 
 
Pero sabemos que A = 2, por lo tanto, 
 
3
25
=
+=
B
B
 
 
Términos con x: 
 
CBA ++−=− 222 
 
Sabemos que A = 2 y C = -4, por lo 
tanto, 
 
3
2
82
4242
)4(2)2(22
==
+−
−+−=−
−++−=−
B
B
B
 
 
La expresión completa, en fracciones 
parciales queda de la siguiente manera. 
 
22
2
)1(
4
)1(
3
)3(
2
)1)(3(
1925
−
−
−
+
+
=
−+
−−
xxxxx
xx
 
 
Ejemplo 5. Resolver la siguiente 
expresión en fracciones parciales. 
 
3
2
)3(
15163
+
++
x
xx
 
 
323
2
)3()3()3()3(
15163
+
+
+
+
+
=
+
++
x
C
x
B
x
A
x
xx
 
Común denominador 3)3( +x , entonces, 
 
3
2
3
2
)3(
)3()3(
)3(
15163
+
++++
=
+
++
x
CxBxA
x
xx 
 
Igualando los numeradores, nos queda, 
 
CxBxAxx ++++=++ )3()3(15163 22
 
Si, x = -3, tenemos, 
 
6
)0()0(6
)33()33(15)3(16)3(3
22
22
−=
++=−
++−++−=+−+−
C
CBA
CBA
 
Por comparación de términos 
encontremos el valor de A y B. 
 
CBBxAAxAxxx
CBBxxxAxx
CxBxAxx
+++++=++
+++++=++
++++=++
39615163
3)96(15163
)3()3(15163
22
22
22
 
Términos con x
2
: 
 
A=3 
 
Términos con x: 
 
BA += 616 
 
Sabemos que A = 3, entonces, 
 
B
B
B
=−
=−
+=
2
1816
)3(616
 
 
Para verificar, revisemos los términos 
sin x: 
 
CBA ++= 3915 
 
Sabemos que A = 3, B = -2 y C = -6, 
entonces, 
 
1515
662715
)6()2(3)3(915
=
−−=
−+−+=
 
 
La expresión completa en fracciones 
parciales queda de la siguiente manera. 
 
323
2
)3(
6
)3(
2
)3(
3
)3(
15163
+
−
+
−
+
=
+
++
xxxx
xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas con factores cuadráticos 
 
 
Ejemplo 6. Resolver la siguiente 
expresión en fracciones parciales. 
 
)1)(2(
1357
2
2
++
++
xx
xx
 
 
Eldenominador es una combinación del 
factor cuadrático )2( 2 +x y el factor 
lineal )1( +x . 
 
)1()2()1)(2(
1357
22
2
+
+
+
+
=
++
++
x
C
x
BAx
xx
xx
 
 
Común denominador )1)(2( 2 ++ xx 
 
)1)(2(
)2()1)((
)1)(2(
1357
2
2
2
2
++
++++
=
++
++
xx
xCxBAx
xx
xx
 
Igualando los numeradores, obtenemos, 
 
)2()1)((1357 22 ++++=++ xCxBAxxx
 
Si x = -1, tenemos, 
 
5
3
15
315
)3()0)((15
)21( 
)11]()1([13)1(5)1(7
2
2
==
=
++−=
+−+
+−+−=+−+−
C
C
CBA
C
BA
 
Por comparación de términos hallemos 
el valor de B y C. 
 
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
21357
)2()1)((1357
222
22
+++++=++
++++=++
 
Términos con x
2
: 
 
CA +=7 
Sabemos que C = 5, por lo tanto, 
 
2
57
=
+=
A
A
 
 
Términos con x: 
 
BA +=5 
 
Sabemos que A = 2, por o tanto, 
 
3
25
=
+=
B
B
 
 
Para comprobar estos valores, revisemos 
los términos sin x: 
 
CB 213 += 
 
Sabemos que B = 3 y C = 5, por lo 
tanto, 
 
1313
10313
)5(2)3(13
=
+=
+=
 
 
La expresión completa en fracciones 
parciales queda de la siguiente manera. 
 
)1(
5
)2(
32
)1)(2(
1357
22
2
+
+
+
+
=
++
++
xx
x
xx
xx
 
 
 
Ejemplo 7. Resolver la siguiente 
expresión en fracciones parciales. 
 
)3(
2463
22
32
+
−++
xx
xxx
 
 
Los términos como x
2
 pueden ser 
expresados como (x + 0)
2
, por lo que 
aquí estamos ante un factor lineal 
repetido. 
 
)3()3(
2463
2222
32
+
+
++=
+
−++
x
DCx
x
B
x
A
xx
xxx
 
 
Común denominador )3( 22 +xx , 
entonces, 
 
)3(
)(
)3()3(
)3(
2463
22
2
22
22
32
+
++
+++
=
+
−++
xx
xDCx
xBxAx
xx
xxx
 
Igualando los numeradores, tenemos, 
 
)( 
)3()3(2463
2
2232
DCxx
xBxAxxxx
++
+++=−++
 
Resolvamos los productos indicados. 
 
23
2332
 
332463
DxCx
BBxAxAxxxx
++
+++=−++
 
 
 
Si x = 0, tenemos, 
 
1
33
)0()0( 3)0( 
)0(3)0()0(2)0(4)0(63
232
332
=
=
++++
+=−++
B
B
DCBB
AA
 
Por comparación de términos hallemos a 
A, C y D. 
 
Términos con x
3
: 
 
1]Ecuación [ 2 CA +=− 
 
Términos con x
2
: 
 
DB +=4 
 
Sabemos que B = 1, por lo tanto, 
 
3)1(4 =⇒+= DD 
Términos con x: 
 
2
36
=
=
A
A
 
 
Para comprobar, igualemos los términos 
independientes (términos sin x). 
 
B33 = 
 
Sabemos que B =1, por lo tanto, 
 
33
)1(33
=
=
 
 
Usemos la [Ecuación 1] para hallar el 
valor de C. 
 
CA +=− 2 
 
Sabemos que A = 2, por lo tanto, 
 
 
4
22
22
−=
=−−
+=−
C
C
C
 
 
La expresión completa en factores 
parciales queda expresada de la siguiente 
manera. 
 
)3(
4312
)3(
2463
2222
32
+
−
++=
+
−++
x
x
xxxx
xxx
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
BIRD, John. ENGINEERING 
MATHEMATICS. Newnes. Fourth 
Edition. 2003. Pág: 51 - 56. 
 
 
 
 
__________ 
Notas preparadas por Juan Felipe Muñoz 
Fernández (http://www.juanfelipe.net).
EJERCICIOS DE FRACCIONES PARCIALES PROPUESTOS 
(Las respuestas se indican entre corchetes) 
 
 
1. 





− +
−
)3(
2
)3(
2
 
9
12
2
xx-
 
x
 
 
2. 





−−
−
−
−
+ )3(
2
)1(
5
 
32
)4(4
2
xxxx
x
 
 
3. 





−−
+−
−
−
−
+
)1(
4
)2(
23
 
)1)(2(
632
xxxxxx
xx
 
 
4. 






−++
−−
−
−
+
−
+ 12
2
)1(
3
)4(
7
 
)12)(1)(4(
)182(3 2
xxx
xxx
xx
 
 
5. 





−+
++
−
+
+
+
)2
6
)3(
2
1 
6
89
2
2
xxxx
xx
 
 
6. 





−−
−−
+
+
−
−
)1(
3
)3(
2
1 
32
14
2
2
xxxx
xx
 
 
7.






+−
+−−
+
−
−
+−
)2(
5
)2(
1
23 
)2)(2(
201623 23
xx
x
xx
xxx
 
 
8. 





+
−
+
−
+
2
)1(
7
)1(
4
 
)1(
34
2
xxx
x
 
 
9. 





+
++
+
−+
)3(
12
2
1
 
)3(
37
2
2
xxxxx
xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. 






−
+−
−
+
−
−
−
3
)2(
4
2
)2(
10
)2(
5
 
)2(
44305
3
2
xxx
x
xx
 
 
11.






+−
−+
+
+
+
−
−
2
)2(
4
)2(
3
)5(
2
 
2
2
)2)(5(
2118
xxx
xx
xx
 
 
 
12. 





−+
−−
−
−
+
+
)2(
1
)7
2
(
32
 
)2)(7(
13
2
2
xx
x
xx
xx
 
 
13. 





+−
−
+
−
+
− )3
2
(
2
)4(
1
 
)3)(4(
56
2
x
x
xxx
x
 
 
14. 






+
−++
+
−
++
)5
2
(
52
2
31
 
)5(
45515
22
32
x
x
xx
xx
xxx
 
 
 
15.






+−
−++
+
−
+
−
+
− )8
2
(
21
2
)1(
2
)1(
3
 
)8()1(
7204
22
23
x
x
xx
xx
xxx
 
 
16. 






+−−
−+−
=
+−
−
+
−
−
)106
2
(2
35
)2(2
12
 
 
)1062)(2(
40422
2
3934
}{
ss
s
ss
ssss
sss
L θ