Unidad 1 y 2 --1

Vista previa del material en texto

Unidad 1 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Un conjunto numérico es una agrupación de números que cumplen con una serie de 
propiedades. 
 
CONJUNTO DE NUMEROS NATURALES (N) 
 
El conjunto de los números naturales es aquel conjunto que permite contar. 
Definimos el conjunto de los Números Naturales, que se denota con la letra N: 
 
 N = {1, 2, 3, 4, 5 , … . } 
 
Con los puntos suspensivos expresamos convencionalmente que el conjunto es 
infinito. Su primer elemento es 1, y no tiene último elemento. A cada número natural le 
sigue otro que se obtiene agregándole o sumándole una unidad a este, dicho número es 
su sucesor, y todo número, excepto el uno, tiene un antecesor. 
Lo podemos esquematizar como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Un número natural y su sucesor se llaman consecutivos. 
Entre dos números naturales existe siempre un número finito de números 
naturales, por eso decimos que el conjunto de los números naturales es discreto. 
 
Para representar el conjunto de los números naturales sobre la recta es 
necesario fijar un origen y un segmento unidad. De esta manera a cada número natural 
le corresponde un punto y sólo uno, sobre la recta numérica. La propiedad recíproca no 
se cumple, pues existen infinitos puntos, a los cuales no le corresponde ningún número 
natural. 
 
 
 
 
 
 
Operaciones posibles en N 
 
Las únicas operaciones posibles en N son la adición y multiplicación, la sustracción y el 
cociente no siempre son posibles, para poder resolver los casos de imposibilidad de la 
sustracción en N, se crearon los números enteros. 
 
 
 
CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS (Z) 
 
Los números enteros están formados por los números naturales, el cero y los 
opuestos de los números naturales. 
Usaremos para representar los números enteros el símbolo Z. 
 
 Z = 
 
- Para representar los números enteros positivos el símbolo 
- Para representar los números enteros negativos el símbolo 
- El cero no es ni positivo ni negativo, por lo tanto podemos representar al conjunto 
de los números enteros de la siguiente manera: 𝑍 = 𝑍− ∪ {0} ∪ 𝑍+ 
- El conjunto de números enteros es infinito, no tiene primero ni último elemento. 
- Todo número entero tiene sucesor y antecesor y entre dos números enteros 
existe siempre un número finito de números enteros, por eso decimos que el 
conjunto de los números enteros es discreto. 
 
Para representar el conjunto de los números enteros sobre la recta es necesario fijar 
un origen y un segmento unidad. De esta manera a cada número entero le corresponde 
un punto y sólo uno sobre la recta numérica. La propiedad recíproca no se cumple pues 
existen infinitos puntos a los cuales no le corresponde ningún número entero 
 
 
 
 
 
Operaciones posibles en Z 
 
Las únicas operaciones posibles en Z son la adición, sustracción y la 
multiplicación, el cociente no siempre es posible, para poder resolver los casos de 
imposibilidad del cociente en Z, se crearon los números racionales. 
 
CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES (Q) 
 
 Definimos el conjunto de los números racionales de la siguiente manera: 
 
𝑸 = {
𝒑
𝒒
/𝒑, 𝒒 ∈ 𝒁, 𝒒 ≠ 𝟎} 
 
El conjunto de los números racionales es denso, ya que entre dos números 
racionales p y q, tales que p < q, siempre hay otro número racional r tal que, p < r < 
q, por ejemplo: 𝑟 =
𝑝+𝑞
2
 o sea entre dos números racionales distintos existe otro 
racional y por lo tanto infinitos. 
 
 
 
 
 ,...3 ,2 ,1 ,0 ,2,2,3...., 
 5,... 4, 3, 2, ,1Z
 1- 2,- 3,- 4,- ...,Z
Operaciones con números racionales 
 
Suma y Diferencia 
La adición o sustracción de dos fracciones de igual denominador es otra fracción 
de igual denominador, cuyo numerador es la suma o resta de los numeradores. 
Es decir: 
a
b
±
c
b
=
a±c
b
 con b ≠ 0 
 
La adición o sustracción de dos fracciones de distinto denominador es otra 
fracción, cuyo denominador es el m.c.m de los números de los denominadores de las 
fracciones que cumple: 
a
b
±
c
d
=
(
p
b
)a±(
p
d
)c
p
 
 
 donde “p” es m. c. m (b , d) con b ≠ 0 y d ≠ 0 
 
Producto 
La multiplicación de dos fracciones es igual a otra fracción, cuyo numerador es 
el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los 
denominadores. Es decir: (
a
b
) (
c
d
) = (
ac
bd
) con b ≠ 0 y d ≠ 0 
 
Cociente 
La división por un número racional se define como el producto por su inverso. 
Es decir: (
a
b
) ÷ (
c
d
) = (
a
b
) (
d
c
) =
ad
bc
 con b ≠ 0, d ≠ 0 y c ≠ 0 
 
Números fraccionarios: aproximaciones decimales 
 
Puesto que, como acabamos de ver, los puntos de la escala racional cubren 
densamente la recta, (es decir, en todo segmento por pequeño que sea, hay infinitos 
puntos en esa escala), podría pensarse que la escala racional comprende todos los 
puntos de la recta, pero no es así, no obstante, su densidad, los números racionales no 
agotan los puntos de la recta. Para comprobarlo observemos que todo número racional 
(m/n), al efectuar la división de m por n en el sistema decimal se expresa como: 
- número decimal finito, si se llega a un resto cero, por ejemplo: 
 1/5 = 0.2; 3/8 = 0.375; 
- una expresión decimal periódica (número decimal infinito) si no se obtiene 
 nunca un resto cero, sino que se repiten las cifras del cociente, por ejemplo: 
 
4
3
= 1,3333333333 … . = 1, 3,̂ 
293
990
= 0,293939393 … = 0,293̂ 
 
Por consiguiente un número decimal infinito es decir con infinitas cifras 
decimales no periódicas, como √2 = 1.41421356237...no puede representarse como un 
número racional, a estos números los llamamos IRRACIONALES. 
 
 
 
 
 
CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES (I) 
 
Los números Irracionales se definen como aquellos números que tienen infinitas 
cifras decimales no periódicas, o como aquellos números que no se pueden escribir 
como cociente de dos números enteros. 
 
CONJUNTO DE NÚMEROS REALES (R) 
 
Se define al conjunto de los números reales como la unión del conjunto de los 
números racionales con el conjunto de los números irracionales 
 𝑹 = 𝑸 ∪ 𝑰 
 
Esquematizando: 
 
 
 
 
Propiedad Fundamental – Propiedad de Orden 
 
En el conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, ya que dados dos 
números reales cualesquiera y distintos, siempre se puede establecer cual es mayor o 
cual es menor. 
La relación de orden en R se indica con: “>” ó “<” tal que 
 “ a < b se lee a es menor que b” 
Esta relación satisface las siguientes propiedades: 
a) Ley de tricotomía: para todo par de números a y b se verifica necesariamente 
que: 
 a < b, ó a = b, ó a > b 
b) Ley transitiva: cualesquiera sean los números a, b, c: 
 Si a < b y b < c entonces a < c 
Propiedades de las operaciones de suma y producto de números reales 
Sean a, b, c números reales, entonces se verifican las siguientes propiedades: 
i. Conmutativa: ∎ 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 
 ∎ 𝑎. 𝑏 = 𝑏 . 𝑎 
ii. Asociativa: ∎ 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 
 ∎ 𝑎. (𝑏. 𝑐) = (𝑎. 𝑏). 𝑐 
iii. El producto es distributivo respecto de la suma: 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐 
iv. Existencia del elemento neutro: ∎ ∃ 0 ∈ 𝑅: ∀ 𝑎 ∈ 𝑅, 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 
 ∎ ∃ 1 ∈ 𝑅 ∶ ∀ 𝑎 ∈ 𝑅, 𝑎. 1 = 1. 𝑎 = 𝑎 
v. Elemento opuesto respecto de la suma: 
 ∀ 𝑎 ∈ 𝑅, ∃ (−𝑎) ∈ 𝑅: 𝑎 + (−𝑎) = −𝑎 + 𝑎 = 0 
Elemento inverso respecto del producto: 
 ∀ 𝑎 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0, ∃ 𝑎−1 =
1
𝑎
∶ 𝑎. 𝑎−1 = 𝑎−1. 𝑎 = 1 
 
Observaciones: 
1) La diferencia de dos números reales cualesquiera se pueden escribir en términos 
de la suma.Esto es: 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏) donde (-b) es el opuesto de b. 
2) El cociente de dos números reales cualesquiera, se puede escribir en términos 
del producto. Esto es: 𝑎: 𝑏 = 𝑎. 𝑏−1 , 𝑏 ≠ 0 donde 𝑏−1 es el inverso de b. 
 
Potenciación de números reales 
 
Sean a un número real y n un número entero. Definimos la potencia enésima de a, como: 
 
 
 
Teniendo en cuenta la definición, podemos decir que: 
- a1 = a 
- a 0 = 1 si a ≠ 0 
- 0 n = 0 si n > 0 
- a - 1 = 
1
a
 si a ≠0 
 
Propiedades de la potenciación 
 
Sean m y n enteros, las bases a y b reales y distintas de cero, en caso que el 
exponente sea cero o negativo: 
i. Productos de potencias de igual base, se suman los exponentes 
𝒂𝒏. 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏+𝒎 (−2)3. (−2)−2 = (−2)3+(−2) 
 = (−2)1 
ii. Cociente de potencias de igual base, se restan los exponentes. 
 𝒂𝒏: 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏−𝒎 33: 3−2 = 33−(−2) 
 = 35 
iii. Potencia de otra potencia, se multiplican los exponentes. 
 (𝒂𝒏)𝒎 = 𝒂𝒏.𝒎 [(
1
5
)
2
]
−3
= (
1
5
)
2.(−3)
 
 = (
1
5
)
−6
 
iv. La potencia es distributiva respecto del producto y del cociente. 
 ∎ (𝒂. 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏. 𝒃𝒏 (2.3)2 = 22. 32 
 62 = 4.9 
 ∎ (
𝒂
𝒃
)
𝒏
=
𝒂𝒏
𝒃𝒏
 (
2
3
)
3
=
23
33
 
 
8
27
=
8
27
 
v. La potencia no es distributiva respecto de la suma y la diferencia. 
 (𝒂 ± 𝒃)𝒏 ≠ 𝒂𝒏 ± 𝒃𝒏 (2 + 3)3 ≠ 23 + 33 
 53 ≠ 8 + 27 
 
Observaciones: 
 
• Si el exponente es par, el resultado siempre tiene signo positivo. 
• Si el exponente es impar, el resultado mantiene el signo de la base. 
 
Radicación 
Dado un número real a, el número real b es su raíz enésima si se verifica que la 
potencia enésima de b es a: 
 
- n par, 𝒂 ≥ 𝟎, √𝒂
 𝒏
= 𝒃 ↔ 𝒃𝒏 = 𝒂, 𝒃 ≥ 𝟎 
- n impar, √𝒂
 𝒏
= 𝒃 ↔ 𝒃𝒏 = 𝒂 
 
Propiedades de la radicación 
Sean m y n números naturales mayores o iguales a 2, a y b reales 
i. La radicación es distributiva respecto del producto y del cociente. 
 ∎ √𝒂. 𝒃
𝒏
= √𝒂
𝒏
 . √𝒃
𝒏
 √(−8). 64
3
 = √−8
3
 . √64
3
 
 ∎ √
𝒂
𝒃
𝒏
=
√𝒂
𝒏
√𝒃
𝒏 √−
27
8
3
=
√−27
3
√8
3 
ii. La radicación no es distributiva respecto de la suma y la resta. 
 √𝒂 ± 𝒃
𝒏
≠ √𝒂
𝒏
 ± √𝒃
𝒏
 √9 + 16
2
≠ √9
2
+ √16
2
 
 √25
2
 ≠ 3 + 4 
iii. Raíz de raíz, se multiplican los índices. 
 √ √𝒂
𝒎𝒏
= √𝒂
𝒏.𝒎
 √√𝑎
3
 
2
= √𝑎
6
 
 
Potencias con exponente fraccionario 
Toda raíz se puede escribir como potencia de índice fraccionario: 
 √𝒂𝒎
𝒏
= 𝒂
𝒎
𝒏 
 
 
 
Prioridades en las operaciones 
1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 
2º. Calcular las potencias y raíces. 
3º. Efectuar los productos y cocientes. 
4º. Realizar las sumas y restas. 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº1 
 
1.-Resolver los siguientes ejercicios combinados 
 
a) 
11
15
+
2
3
−
1
5
− 1 = b) 
49
5
÷ 7 + (3 −
11
7
) ÷ (
14
49
+
3
7
÷
7
12
) = 
 
 𝑐) −
3
4
[
3
5
−
1
2
(
1
3
−
1
5
)] = d) 
(
3
2
−
1
5
)−2:
1
3
(
3
4
+
1
5
):
1
10
:(−
2
9
)
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.- Calcular el valor de las siguientes potencias de exponente racional: 
4
3
2
1
2
3
3
2
4
5
5
2
2
3
3
1
16
1
5
25
4
16
1
2781324
8
1


























)h)g)f))(e)d))(c)b)a 
 
 
 
 
 
 
 
2.- Sitúa cada número en su lugar correspondiente dentro del diagrama, explicando 
brevemente el porqué: 
 
√8, 
−3
4
, 17,0295̂, 4, √9, 
−16
2
, √−8,
3
− 47,03, 𝜋, 3,1416, 
𝜋
4
 
 
 
 
 
 
 
4.- Resolver aplicando propiedades de potenciación: 
 
 


































































32
432
35
2124-
2
37
4
23
323-
0
4
-5455
a
 k) 
9382
39342
 j) 
4
3
:
4
3
 )
2
1
2
1
 h) 3 g) 3 f) 
5
1
 )
2- d) (-2) c) 3- b) =3- )
2
cba
cb
i
e
a
 
 
5.- Utilizando las propiedades de las potencias, expresa r como potencia de 
base 2 
 a) 2·
16
8·25
 b) 
2
16
·32
6
 c) 4
3
5
3 2
2
3
.2 
 
6.- Simplificar la expresión: 985032
2
1
16·2 33  = 
 
7.-Resolver aplicando propiedades de radicación y cuando sea necesario, expresar como 
exponente fraccionario: 
 a)√(−1 +
5
4
)
3
÷ √1 −
65
81
 = b) 
1
3
√3 . √(
1
3
)
−34
 . (√
1
3
3
)
2
= 
 
8.-Expresar en forma de potencia, efectúe las operaciones y luego simplifique 
 a)√x4
8
 √x2
4
 = b) √a3
9
 √a2
3
 = 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD 2 
FACTOREO 
 
Definición: 
 
Factorizar o factorear significa "transformar en multiplicación" o "producto", como 
también se le llama a la multiplicación. Partimos de una expresión formada por sumas 
y/o restas de términos, y llegamos a una expresión equivalente, pero que es una 
multiplicación. 
 
Ejemplo: 
 X3 + 3x2 + 2x = x.(x + 2).(x + 1) 
 
 ¿Por qué se llama “factorizar” o factorear? 
Porque a los elementos que están multiplicando en una multiplicación se les llama 
"factores". 
 Por ejemplo, en la multiplicación 7.3=21, el 7 y el 3 son los "factores". 
En el ejemplo del punto anterior los 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑟á𝑛 {
𝑥
𝑥 + 2
𝑥 + 1
 
 
 ¿Para qué sirve factorizar un polinomio? 
Tener factorizada la fórmula de una función polinómica sirve para encontrar o 
visualizar los "ceros" o "raíces". Y eso es algo de gran utilidad en varios temas: para 
analizar la positividad y negatividad de la función, o para encontrar los máximos y/o 
mínimos. También la factorización de polinomios se puede utilizar para: resolver 
inecuaciones de grado 2 o mayor, hallar algunos límites, resolver ecuaciones 
polinómicas fraccionarias, identidades y ecuaciones trigonométricas, etc. Es decir que 
nos enseñan a factorizar porque en otros temas de Matemática necesitaremos 
factorizar polinomios para trabajar con multiplicaciones en vez de sumas y restas. 
 
 ¿Cómo puedo saber si factoricé correctamente? 
Multiplicando los factores que obtuvimos tenemos que poder llegar a la misma 
expresión de sumas y/o restas de la que partimos. No olvidemos que al factorizar 
estamos obteniendo una expresión equivalente a la original, pero con distinta forma (de 
multiplicación). Si luego multiplico todos los factores que quedaron en el resultado, 
tengo que volver "al principio". De esta forma estamos haciendo una "verificación". 
CASOS DE FACTOREO 
Analizaremos los siguientes casos: 
1) Factor Común 
2) Factor Común en Grupos 
3) Trinomio Cuadrado Perfecto4) Cuatrinomio Cubo Perfecto 
5) Diferencia de Cuadrados 
6) Sumas o Restas de Potencias de Igual Grado 
7) Trinomio de Segundo Grado 
8) Casos Combinados 
 
FACTOR COMÚN 
 
Cuando en todos los términos de un polinomio figura un factor común, es decir un 
monomio o un polinomio que se repite en TODOS los términos 
 
Tiene que estar en todos los términos, por eso es "común" (común a todos). Y 
recordemos además que, en una multiplicación, se les llama "factores" a los números 
que están multiplicándose. De ahí vienen las dos palabras: "factor" y "común". 
 
Ejemplos: 
 
- 5.a + 5.b + 5.c, está el factor común "5"; porque en todos los términos está 
multiplicando el número 5. 
- 8ax + 12axy - 5axz, está el factor común "ax"; porque en todos los términos están 
multiplicadas las letras "a y x". 
Divido a todos los términos por ese factor. La división entre números ya la 
conocemos. La división entre letras iguales (potencias de igual base) se hace restando 
los exponentes. 
 
Los números se dividen con los números, y las letras con las letras iguales. 
 
Cuando son números, nos conviene saber que el factor común que nos piden sacar 
entre ellos es el conocido MÁXIMO COMÚN DIVISOR o DIVISOR COMÚN MAYOR (MCD 
o DCM). Es el mayor número por el cual podamos dividir a todos los términos. 
Cuando son letras, son las comunes en todos los términos, a su menor exponente. 
 
Ejemplos: 
 
1) 7x2 + 19x3 - 14x5 + 23x4 -12 x8 = → En todos los términos está la "x". 
La "x" es factor común y hay que sacarla con exponente 2, porque es el menor 
exponente con el que aparece en el polinomio. El factor común es: x2. 
 
2) 17x2 + 11x3 - 14x5 + 13x4 - 10 x8 = x2. (7 + 19x - 14x3 +23x2 -12 x6) 
Para dividir a las letras de los términos por las del factor común, hay que restar los 
exponentes, porque es división entre potencias de igual base (Propiedades de las 
potencias de igual base). 
 
 
Observación: Casi siempre sacamos factor común positivo, a menos que por 
alguna razón necesitemos hacer lo contrario. Si sacamos factor común positivo, cada 
término queda con el mismo signo que tenía originalmente, pero también se puede 
sacar factor común negativo donde cada término queda con el signo contrario al que 
tenía originalmente, de acuerdo a la regla de los signos en el producto (cociente) 
 
REGLA DE LOS SIGNOS 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 -2a + 2b - 2c - 2d = 2. (-a + b - c - d) Sacamos factor común 2 (positivo). 
-2a + 2b - 2c - 2d = (-2). (a - b + c + d) Sacamos factor común (-2) (negativo) 
 De acuerdo a la regla de los signos, en cada división el resultado queda con el signo 
contrario al del término original. 
 
FACTOR COMÚN EN GRUPOS 
 
Este caso de factoreo se aplica cuando no hay un Factor Común para todos los términos, 
pero sí lo hay para algunos términos entre sí. Con estos términos que tienen factor 
común entre sí es que se arman los "grupos". 
 
El número de términos debe poder ser reagrupado en grupos de igual número 
de términos cada uno. 
Por ejemplo, 6 términos podrían reagruparse en dos grupos de tres términos, o bien en 
tres grupos de dos términos cada uno; mientras que 9 términos podrían reagruparse en 
tres grupos de tres términos cada uno 
 En todos los grupos que armemos tienen que haber Factor Común entre los 
términos que agrupamos. Los "resultados" de sacar Factor Común en los distintos 
grupos deben dar iguales, o con los mismos términos desordenados y/u opuestos (con 
signo contrario). El Factor Común en Grupos es así un caso de aplicación sucesiva de 
Factor Común 
 
Ejemplos 
 
1) Factorizar 9a2 – 9ab3 + ac7 – c7 b3 
Entre los dos primeros términos se observa factor común 9 a, mientras que entre el 
tercer y cuarto término el factor común es c7. Realizando la factorización resulta: 
 9a2 – 9ab3 + ac7 – c7 b3 = 9a (a-b3) + c7 (a-b3). 
 
Si consideramos que ahora (a - b3) es un factor común en ambos términos resulta que: 
9a2 – 9ab3 + ac7 – c7 b3 = 9a (a - b3) + c7 (a - b3) 
 = (9a + c7) (a - b3). 
 
2) Factorizar 7x3 – 7x2 - 3x + 3 = 
Entre los dos primeros términos se observa factor común 7x, mientras que entre el 
tercer y cuarto término el factor común es (-3). Realizando la factorización resulta: 
 
 7x3 – 7x2 - 3x + 3 = 7x2 (x – 1) - 3 (x – 1) 
Si consideramos que ahora (x – 1) es un factor común en ambos términos resulta que: 
 
 7x2 (x – 1) - 3 (x – 1) = (x – 1)(7x2 -3) 
Siendo esta la forma factorizada de 7x3 – 7x2 - 3x + 3 
 
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
"Trinomio" significa "polinomio de tres términos". Como en toda factorización, 
estamos buscando una expresión que sea equivalente al polinomio que nos dan, pero 
que sea una multiplicación (producto). Resulta que cuando elevamos un binomio al 
cuadrado, obtenemos un trinomio. Ya que un binomio al cuadrado se resuelve con las 
fórmulas: 
 
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 
 
 
Ejemplos de binomios al cuadrado: 
 
1) (x + 7)2 = x2 + 2.x.7 + 72 = x2 + 14x + 49 
2) (2x - 3)2 = (2x)2 – 2 (2.x).(-3) + (-3)2 = 4x2 - 12x + 9 
Como se ve, el resultado de elevar al cuadrado un polinomio de 2 términos es otro 
de 3 términos. 
Aplicamos este caso analizando el "trinomio" que nos están dando, para comprobar si 
puede ser el resultado de haber elevado a algún "binomio". En nuestro primer ejemplo, 
el trinomio x2 + 14x + 49 se obtuvo de elevar al cuadrado a (x + 7), y por eso el resultado 
de la factorización sería (x + 7)2. 
 
 Miremos en la fórmula: a2 + 2.a.b + b2 
Hay dos términos que son cuadrados: a2 y b2. Y el tercer término es "2 multiplicado 
por las dos bases" (los que están al cuadrado, es decir "a" y "b"), o sea: 2.a.b (" el doble 
producto de a y b"). Entonces, para ver si un trinomio es cuadrado perfecto, tengo que 
buscar que todo eso se cumpla: Que haya dos términos que sean "cuadrados", y luego 
un término que sea igual a multiplicar por 2 a las bases de esos cuadrados. 
 
Ejemplos: 
 
1) Factorizar: x2 + 6x + 9, 
Los términos "cuadrados" son x2 y 9. Las "bases" son x y 3. Y el término 6x debe 
ser igual entonces a 2.x.3 (el doble producto de las bases). Como 2.x.3 es igual a 6x, se 
cumple lo que estamos buscando. 
Entonces, este trinomio cumple con todo lo que tiene que cumplir para ser el 
cuadrado del binomio (x + 3), de modo que: 
x2 + 6x + 9= (x + 3)2. 
 
2) Factorizar: 25x2 – 20xy + 4y2 
Analizamos para comprobar si es trinomio cuadrado perfecto: 
 25 x2 - 20x.y + 4y2 = (5x - 2y)2 
 
 
 √𝟐𝟓 𝒙𝟐 = 𝟓𝒙 √𝟒𝒚𝟐 = 𝟐𝒚 2.(5x).(-2y ) = -20xy 
 
 Primer término del binomio Segundo término del binomio 
 
 
CUATRINOMIO CUBO PERFECTO 
 
Cuatrinomio significa "polinomio de cuatro términos". Cuando elevamos un binomio al 
cubo, obtenemos un cuatrinomio. Ya que un binomio al cubo se resuelve con la fórmula: 
 
 (a + b)3 = a3 +3 a2.b + 3 a.b2+ b3 
 
 
Ejemplos de cubos de binomios: 
 
1) (x + 5)3 = x3 +3.x2.5 +3.x.52 + 53 = x3 + 15x2 +75x+ 125 
 
2) (2x - 3)3 = (2x)3 + 3( 2.x)2.(-3) +3( 2.x).(-3)2 + (-3)3 = 8x3 - 36x2 + 54x - 27 
Como se ve, el resultado tiene 4 términos. Elevando al cubo un polinomio de 2 
términos, y obtenemos uno de 4 términos. 
 
Miremos en la fórmula: (a + b)3 = a3 +3 a2.b + 3 a.b2+ b3 
 
Hay dos términos que son cubos: a3 y b3. Y los otros dos son 3 multiplicado por 
el cuadrado de una base y multiplicado en la otra base sea: 3.a2.b y 3.a.b2 Entonces, 
para ver si un cuatrinomio es cúbico perfecto, tengo que buscar que los cuatro términos 
cumplan con las características enunciadas. 
 
En forma similar al trinomio cuadrado perfecto, en el cuatrinomio buscamos dos 
términos cúbicos, y los otros dos términos deben ser el triple del producto de una de las 
bases enla otra base. 
 
Ejemplos: 
 
1) Factorizar x3 + 15x2 +75x+ 125, 
En nuestro primer ejemplo, el cuatrinomio se obtuvo al elevar al cubo a (x + 5), 
y por eso el resultado de su factorización sería (x + 5)3. Es decir: 
 
x3 + 15x2 +75x+ 125 = (x + 5)3 
 
2) Factorizar 8x3 + 36x2 +54x+ 27, 
 
 
3) Factorizar: 8x3 - 36x2 +54x - 27, 
En el cuatrinomio 8x3 - 36x2 + 54x - 27, los términos cúbicos son (2 x)3 y (-3)3. Las 
bases son 2x y (-3). Y los términos (-36x2 ) y 54x deben ser iguales a: 
 3.(2x)2.(-3) (el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda 
base) y a 3.(2x).(-3)2. 
Como 3.(2x)2.(-3) = -36x2 y 3.(2x).(-3)2 = 54x, se cumple lo que estamos buscando. 
Entonces este cuatrinomio es el cubo de un binomio. Y ese cuatrinomio 
factorizado es (2x - 3)3 , es decir: 
8x3 - 36x2 +54x – 27 = (2x - 3)3 
 
 
DIFERENCIA DE CUADRADOS 
 
Hay dos términos que son cuadrados y están restados. Responden a la forma: 
 x2 – y2 
y se factorizan como el producto de dos factores: la diferencia por la suma de sus bases. 
Su fórmula es: 
 
 
 
 
 
 
Entonces, para ver si un binomio es diferencia de cuadrado debemos verificar 
que los dos términos que sean "cuadrados" y que estén restados. 
 
Ejemplos: 
 
1) Factorizar x2 – 49 
 En x2 - 49, los términos cuadrados son x2 y 49. Las bases son x y 7, de modo que: 
x2 – 49 = (x-7) (x+7). 
 
2) Factorizar 81 - 4x2 
En 81 - 4x2, los términos cuadrados son 9 y 2x ( 92 = 81 y (2x)2=4x2 ). Las bases 
son 9 y 2x, de modo que: 
81 - 4x2 = (9 – 2x) (9 + 2x) Que es el resultado final de la factorización 
 
SUMAS O RESTAS DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO 
 
 El polinomio tiene que tener 2 términos y los términos tienen que ser potencias 
con el mismo exponente, es decir, responde a la forma: an - bn o an + bn 
Si es una suma, las potencias deben ser impares (suma con potencias pares solo 
pueden factorizarse en casos especiales). Si es diferencia, las potencias pueden ser pares 
o impares. 
 
 
 
La fórmula general se deduce a partir de la regla de Ruffini, al dividir en (a + b) o 
en (a- b) según corresponda, resultando: 
 
 
an - bn = (a - b) (an-1 + an-2 b+ an-3 b2+…+ a2 bn-3 + a bn-2 + bn-1) , 
an + bn = (a + b) (an-1 - an-2 b+ an-3 b2-…+ a2 bn-3 - a bn-2 + bn-1) 
 
 
Ejemplos: 
a) Factorizar: x3 – 8 
En x3 – 8 los términos elevados al mismo grado son x3 y 23 , de modo que: 
x3 – 8 = x3 - 23 
x3 – 8 = (x-2) (x2 + x 2 + 22) 
x3 – 8 = (x-2) (x2 + 2x + 4) . Que es el resultado final de la factorización 
 
b) Factorizar: x5 + 32 
x5 + 32 = x5 + 25 = Observando la fórmula correspondiente obtenemos: 
x5 + 32 = (x+2) (x4 – x3 2 + x2 22 – x 23 + 24) 
x5 + 32 = (x+2) (x4 – 2 x3 + 4 x2 – 8 x + 16) Que es el resultado final de la factorización 
 
c) Factorizar: 8x3 + 27 
8x3 + 27 = (2x)3 + 33 = Observando la fórmula correspondiente obtenemos: 
8x3 + 27 = (2x+3) ( (2x)2 –(2x) 3 + 32 ) 
8x3 + 27 = (2x+3) (4x2 – 6 x + 9) Que es el resultado final de la factorización 
 
TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO 
Se puede factorizar buscando las "raíces" con la fórmula para resolver 
ecuaciones cuadráticas. Y se factoriza 
 
 
 
Donde x1 y x2 son las raíces reales de 
 
 
 
 
 
En caso de no tener raíces reales, el trinomio no es factorizable 
 
Ejemplos: 
1) Factorizar 2x2 - 3x - 2 
 Reemplazamos en la fórmula con a=2, b = -3 c = -2 y obtenemos: 
 
𝑥1,2 =
−(−3) ± √9 − 4.2. (−2)
2.2
= 
 𝑥 = 2
 𝑥 = −
1
2
 
 
De modo que: 2x2 - 3x - 2 = 2.(x – 2).(x + 1/2) 
Que es el resultado final de la factorización 
 
CASOS COMBINADOS 
 
Son aquellos donde, luego de aplicar algún caso de factoreo, se puede volver a 
factorizar. Para los ejercicios combinados, se recomienda primero sacar factor común si 
lo hay. Y recién después analizar si hay otros Casos. 
 
 
Ejemplos: Factorizar las expresiones indicando el o los casos de factoreo utilizados 
 
1) 2x5 – 2x3 = 2x3.(x2 - 1) = Aplicamos factor común 
 = 2x3.(x + 1).(x - 1) Diferencia de cuadrados 
 
2) 2x7 – 8x6 + 8x5 = 2x5 (x2 – 4x + 4) Factor común 
 = 2x5 (x - 2)2 Trinomio cuadrado perfecto 
 
3) 5y3 x4 + 40 x4 = 5x4 (y3 +8) Factor común 
 = 5x4 (y +2) (y2 – 2y+4) Suma o diferencia de potencias de igual base 
 
4) 5y2 x4 + 10 y x4 - 15 x4 = 5x4 (y2 +2y-3) Factor común 
 = 5x4 (y -1) (y+3) Trinomio de segundo grado 
 
 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS 
 
Definición 
 Una expresión algebraica fraccionaria o racional es la expresión que es cociente 
entre polinomios 
 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
 
siempre que el polinomio denominador no sea el polinomio nulo. 
 
Ejemplos 
 
 
 
 
 Ya que el denominador no puede ser cero, las variables de los polinomios 
denominadores no pueden tomar los valores que son sus raíces. 
 Como una expresión racional es un cociente entre números reales, las 
propiedades de fracciones también se cumplen en los casos de las expresiones 
racionales. 
 Decimos que una expresión racional está en su forma mínima si el numerador y 
el denominador no tienen factor o factores comunes. 
Producto de expresiones algebraicas 
 Para multiplicas expresiones algebraicas usamos la siguiente propiedad de 
fracciones: 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cociente de expresiones algebraicas 
 La propiedad de fracciones que se usa para dividir expresiones fraccionarias es: 
 
 
 
 
 
Ejemplo Encontrar la mínima expresión 
 
 
 
 𝑥 ≠ 3, −3 
 
 
 
Suma y Diferencia de expresiones fraccionarias 
 
 La suma y diferencia de expresiones fraccionarias se resuelven aplicando las 
propiedades de fracciones ya mencionadas cuando nos referimos al conjunto de 
números racionales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Encontrar la mínima expresión 
 
 
 
 
 Lo primero que debemos hacer es encontrar el común denominador, es decir el 
mínimo común múltiplo. Para ello, debemos factorizar los denominadores y encontrar 
el producto de todos los factores comunes y no comunes con su mayor potencia (m.c.m.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 2 
1.- Extraer factor común: 
 
a) 8a - 4b + 16c + 12d = f) 36x4 - 48x6 - 72x3 + 60x5 = 
 
b) 7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 = g) Sacar factor común negativo en 8a - 4b + 16c + 12d 
 
c) 9x3 - 6x2 + 12x5 - 18x7 = h)  22
9
8
4
3
xyyx 
d) 4/21 x - 8/9 x3 + 16/15 x7 = i)  babaabba 3322
25
16
15
8
5
12
35
4 
 
e) 9x2ab - 3xa2b3 + x2az = j) (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) = 
 
2.- Indicar cuáles de los siguientes polinomios están correctamente factorizados; indicar 
cuál es el error en los otros o si la factorización está incompleta. 
 
a) – x4 + 5 x3 = - x3 ( x – 5) d) – x5 + x4 = - x3 ( x2 - x) 
b) –3/2 x2 - ½ x = -3/2 x ( x + 
3
1
) e) - 9 x2 – 4 = - 9 (x2 + 
9
4
) 
c) 2 x 6 - 3x = x (x5 –3) f) 9 x6 + 9 x2 = 9 x ( x5 +x) 
 
3.- Completar los espacios vacíos: 
 
a) 12 x2 –4 x + ......= ....( .... x2 - x + 1) d) x7 + .... = .......( x2 + 1) 
 
b) x7 + ... x5 –5x3 = x3 ( ...+ 3x2 - ...) e) 3x4+ 24x = ... (x3 +8) 
 
c) – x4 - 5 x3 - 6 x2 = - x2 ( ....+....+....) f) ....+ 48 x4 = 3 x4 ( 5 x4 + ....) 
 
4.- Extraer factor común en grupos: 
 a) 4a + 4b + xa + xb = e) 3a2 b - 6b + 3a2 - 2= j)  bmbnaman
7
20
7
5
3
8
3
2
 
 
 b) 4a - 4b + xa - xb = f) 4x2a + 3y + 12ax + yx = 
 
 c) 4a - 4b - x2 b + x2 a = h) 4a - 7x2a + ya + 4z - 7x2z + yz = 
 
 d) 4x2 a + 8x2 b + 6a + 12b = i) x3 + x2 + x + 1 = 
 
5.- Aplicar el caso de trinomio cuadrado perfecto: 
a) x2 + 6x + 9 = e) x + x2 + 1/4 = i) 0,09 a6 + 1 - 0,6a3 = 
 
b) x2 + 2x + 1 = f) 9x2 - 30x + 25 = j) 25x6 + 10 x5 + x4 = 
 
 c) x2 + 8/3 x + 16/9 = g) x6 + 10x3 + 25 = k) 25x2 - 70xy + 49y2 = 
 
d) x2 - 10x + 25 = h) 4x2 - 4xa3 + a6 = l)  xyyx
10
3
16
9
25
1 22 
 
6.- Aplicar el caso de cuatrinomio cubo perfecto: 
 
 a) x3 + 6x2 + 12x + 8 = c) 27 + 54 x + 36x2+ 8x3 = 
8
27
20
27
50
9
125
1
) 23 xxxe 
 
 b) x3 - 3x2 + 3x - 1 = d)  27184
27
8 23 xxx 
8
27
2
2
9
27
8
) 223 xxxf
 
 
 7.- Aplicar el caso de diferencia de cuadrados: 
 
 a) x2 - 36 = c) 4x2 - 1 = e) 36 x4- 1/4 = g)  22
36
49
25
9
ba 
 
 b) 1 - x2 = d) x4 - 9 = f)  44
16
9
25
1
yx h)  2220
36
25
81
49
yx 
 
 
8.- Aplicar el caso de suma o diferencia de potencias de igual grado 
 
 a) x3 - 27 = c) 8x3 - 1 = e) x5 + 1/243 = g)  33
27
8
8
125
yx 
 
 b) 32 – x5 = d) x3 + 125 = f) 
27
8
8
1 3 x = i)  77
128
1
yx 
 
9.- Factorizar los trinomios de segundo grado 
 a) 2x2 - 3x + 1 = c) 3x2 - 4x = e) 7x2 - x - 8 = g)  3
2
3
2
3 2 xx 
 b) -2x2 - 4x+ 6= d) 3x2 - 1/3= f)  2
2
3
2
1 2 xx h) 
2
3
4
3
4
3 2 xx 
 
10.- Aplicar casos combinados de factoreos: 
 
 a) x3 - 9x = b) 8x10 - 16x9 +8x8 = c) x7 y5 - 32x7 = 
 
 d) 4x15 - 32x12 = e) 12 x4 z13 + 96 x4 z10 = 
 
 f) 2 y x10 - 6 y x9 + 6 y x8 - 2 y x7= 
 
11.- Reducir las expresiones aplicando casos combinados de factoreos: 
 
 a) .
44
22
2
2
xx
xx


= c) 
2
4233
2
2
56
79




xx
xx
xx
xx
= e) 
12
32
:
1
333
2
2
3
2




xx
xx
x
xx
= 
 
 b) .
44
22
56
67
xx
xx


= d) 
2
4233
2
2
56
2




xx
xx
xx
xx
= f) 
93
42
:
27
8
2
23
3
3




xx
xxx
x
x
= 
 
 
 
12.- Realizar las siguientes sumas y restas entre expresiones algebraicas: 
 
 
 
 
 
 
 
13.- Encontrar la mínima expresión de: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con el objetivo que profundices o quieras controlar tus resultados, te recomendamos 
los siguientes links: 
 https://www.aplicacionespara.org/apps-para-factorizar/ 
 https://www.youtube.com/watch?v=4G_FOrtm_8Y 
 
 
 
 
 
 
https://www.aplicacionespara.org/apps-para-factorizar/
https://www.youtube.com/watch?v=4G_FOrtm_8Y