¿Puedes explicarme un fenómeno físico que se calcule con números complejos?

Siento decepcionarte, pero en realidad los números complejos son equivalentes a una estructura sobre los pares de números reales. Empecemos por algo sencillo como las ecuaciones de Newton para el movimiento de un punto material:

md2xdt2=Fmd2xdt2=F

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden. En el siglo XIX Rowan Hamilton mostró que se obtienen muchas ventajas si para un sistema cuya energía mecánica es constante escribimos en lugar de una ecuación diferencial de segundo orden, dos ecuaciones diferenciales de primer orden. El resultado se llaman ecuaciones de Hamilton:

dqjdt=+∂H∂pj,dpjdt=−∂H∂qjdqjdt=+∂H∂pj,dpjdt=−∂H∂qj

En la formulación de Hamilton usamos posiciones qjqj (puedes pensar por simplificar que estas son las coordenadas cartesianas de una partícula) y usamos momentos pjpj (puedes pensar por ejemplo que estos momentos son los momentos lineales en cada una de las direcciones cartesianas pj=mvjpj=mvj). Pues bien, si usamos la magia de los números complejos estas dos ecuaciones se pueden escribir de manera más compacta como una única ecuación si usamos números complejos! Hay varias maneras de hacer esto pero por ejemplo definamos el número complejo: aj=2–√(qj+ipj/ℏ)aj=2(qj+ipj/ℏ) entonces resulta que las dos ecuaciones de Hamilton pueden ser pensadas como la parte real y la parte imaginaria de una única ecuación sobre los números complejos:

iℏdajdt=∂H∂a∗jiℏdajdt=∂H∂aj∗

hay varias maneras de hacer esta “complejificación”[1], pero he hecho las elecciones para que esta ecuación se parezca deliberadamente mucho a la ecuación de Schrödinger para un sistema cuántico:

iℏ∂∂t|ψ⟩=H^|ψ⟩iℏ∂∂t|ψ⟩=H^|ψ⟩

Se pueden dar muchos ejemplos así. La moraleja es esta, dada una ecuación planteada en números complejos puede descomponerse en un sistema de dos ecuaciones con números reales y dadas muchos sistemas de dos ecuaciones reales se pueden combinar en un único sistema en números complejos.

Existen muchos otros ejemplos, en electrotecnia para estudiar corriente alterna es común definir la intensidad de corriente, la resistencia al paso de la corriente o el voltaje como fasores que son números complejos en términos de los cuales las ecuaciones que deben resolverse se simplifican al usar números complejos. En mecánica cuántica todo se volvería terriblemente largo si no pudiéramos usar números complejos, igualmente en relatividad especial si definimos una coordenada temporal compleja τ=ictτ=ict muchas ecuaciones se simplifican enormemente.

No hay nada esencial en los números complejos, los números complejos pueden ser vistos como un álgebra bidimensional (que además es conmutativa y donde todo elemento tiene inverso) sobre los números reales.

Notas al pie