En el contexto de la mecánica cuántica ¿Qué son los eigenstates? ¿Cual es su relación con la energía? ¿Más eigenstates significa más energía?

Los eigenstates, también llamados de auto-funciones o auto-vectores, en el contexto de la mecánica cuántica, son los estados de equilibrio del sistema Que quiere decir eso? Bien:

Un sistema se denomina en equilibrio, si su estado de movimiento no evoluciona con el tiempo.

Clásicamente existen muchos ejemplos de sistemas en equilibrio:

estas rocas están estáticas y permanecen estáticas con el pasar del tiempo,

los planetas que giran alrededor del sol y continuarán haciendolo por miles de años, o el ejemplo ideal para esta pregunta

el sempiterno péndulo en su movimiento oscilatorio, que en ausencia de fricción seria eterno.

Todos los casos anteriores son ejemplos clásicos de sistemas en equilibro, dada mi definición. Clásicamente, todos los sistemas anteriores pueden ser descritos por el por sus coordenadas r⃗ r→ y sus momentos p⃗ p→ e intuitivamente uno puede darse cuenta que por estar en equilibrio, basta con saber la dinámica del sistema en un dado intervalo de tiempo TT para saber su comportamiento a lo largo de la eternidad.

Cuánticamente el objeto matemático que contiene toda la información del sistema, es la función de onda o vector de onda |Ψ>|Ψ> . De forma tosca, se puede pensar como un vector de dimensión infinita

|Ψ>=⎛⎝⎜⎜p1p2⋮p∞⎞⎠⎟⎟|Ψ>=(p1p2⋮p∞)

donde cada componente pipite dice la probabilidad de encontrar la partícula en ese punto del espacio.

En el mundo de la mecánica cuántica, un estado inicial |Ψ(t=0)>|Ψ(t=0)> evoluciona en el tiempo a través de la solución de la ecuación de Schrodinger

|Ψ(t)>=e−itH/ℏ|Ψ(t=0)>|Ψ(t)>=e−itH/ℏ|Ψ(t=0)>

donde HH es el operador Hamiltoniano que está asociado a la energía. De forma que, si |Ψ(t=0)>|Ψ(t=0)> es un autovector de la matriz Hamiltoniana HH, se tiene que cumplir

H|Ψ(t=0)>=E|Ψ(t=0)>H|Ψ(t=0)>=E|Ψ(t=0)>

por lo que la evolución temporal del estado del sistema es muy simple

|Ψ(t)>=e−itE/ℏ|Ψ(t=0)>|Ψ(t)>=e−itE/ℏ|Ψ(t=0)>

Con lo que solo cambia por una e−itE/ℏe−itE/ℏ que en mecanica cuántica no es importante.

En resumen

Los eigenstates son los estados de equilibrio de un sistema cuántico, ya que si el sistema se encuentra en alguno de estos, sus propiedades físicas no evolucionan con el tiempo, ya que el estado en cuestión no evoluciona con la ecuación de Schrodinger