19.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
19.2. Matriz diagonalizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
19.3. Condiciones para la diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
19.4. Uso de la Factorización PDP−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
19.5. Aplicación: Cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
19.1. Introducción
En esta lectura veremos uno de los temas más importantes del Álgebra Lineal que tiene aplicaciones
fundamentales en Ingenieŕıa. Éste es el tema de la diagonalización de una matriz cuadrada. Se revisará la
definición, algunos resultados teóricos y algunas aplicaciones. Se requieren los conceptos de valor y vector
propio, polinomio caracteŕıstico y bases de un espacio lineal.
19.2. Matriz diagonalizable
Definición 19.1
Una matriz cuadrada A n× n se dice matriz diagonalizable si existe existe una matriz P n× n invertible que
cumple
P−1AP = D
donde D es una matriz diagonal.
El siguiente resultado indica qué significa que una matriz A sea diagonalizable.
Teorema
Sea A una matriz cuadrada n× n, entonces son equivalentes:
A es una matriz es diagonalizable,
Rn posee una base formada por vectores propios de la matriz A.
Demostración
Supongamos que A es diagonalizable. Por tanto, existen matrices P invertible y D diagonal tal que
P−1AP = D ó A = PDP−1
Si pi es la i-esima columna de P y dj el j-ésimo elemento de la diagonal de D, veamos que
B = {p1,p2 . . . ,pn} es base para Rn y que Api = dipi. Como
P−1P = In×n = [e1 e2 · · · en] = P−1 [p1 p2 · · ·pn] =
[
P−1p1 P
−1p2 · · ·P−1pn
]
Por tanto, P−1pi = ei. Aśı mismo, Dei = diei y Pei = pi Aśı
Api =
(
PDP−1
)
pi
= (PD)
(
P−1pi
)
= (PD) ei
= P (Dei)
= P (diei)
= diPei
= dipi
Por tanto, pi es un vector propio asociado al valor propio di de A. Siendo P es invertible, P se reduce a In×n.
Por tanto, B es linealmente independiente y genera a Rn. Por tanto, B es una base para Rn formada por
vectores propios.
Supongamos ahora que se tiene una base para Rn
B = {p1,p2 . . . ,pn}
formada por vectores propios de A y que Api = dipi. Definamos
P = [p1 · · ·pn] y D = diag (d1, d2, . . . , dn)
Aśı, P es invertible y
P−1AP = P−1 (A [p1 p2 · · ·pn])
= P−1 [Ap1 Ap2 · · ·Apn]
= P−1 [d1p1 d2d2 · · · dndn]
=
[
P−1d1p1 P
−1d2p2 · · ·P−1dnpn
]
=
[
d1P
−1p1 d2P
−1p2 · · · dnP−1pn
]
= [d1e1 d2e2 · · · dnnn]
= D
por tanto, A es diagonalizable.
19.3. Condiciones para la diagonalización
Reglas básicas para saber si una matriz es diagonalizable:
Si tiene algún valor propio complejo, no es diagonalizable. Efectivamente, si A es diagonalizable
pA(t) = det (A− tI)
= det
(
PDP−1 − tI
)
= det
(
PDP−1 − tIPP−1
)
= det
(
P (D− tI)P−1
)
= det(P) det(D− tI) det
(
P−1
)
= det (D− tI)
=
∏n
i=1 (di − t)
por tanto, pA(t) tiene todos sus valores propios reales. La contrapositiva de esta afirmación es que si el
polinomio caracteŕıstico de A al menos una ráız compleja, entonces A no puede ser diagonalizable.
2 Si tiene todos sus valores propios reales y son diferentes, śı es diagonalizable. Supongamos que sea el
caso. Como pA(t) tiene grado n entonces tendrá n ráıces reales y diferentes. Por tanto, si
B = {x1,x2, . . . ,xn}
es un conjunto formado por vectores propios asociados a valores propios diferentes entonces, B es un
conjunto linealmente independiente. Como tiene n elementos B, es base para Rn. Por el resultado ya
probado A es diagonalizable.