Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a x+ 3 y − z = −1 −x− 3 y + z = 1 2x+ 6 y − 2 z = −2 3x+ 9 y − 3 z = −3 ¿Qué se puede decir? ...

Respuesta: (a)

Explicación:

Podemos combinar las cuatro ecuaciones del sistema en una ecuación matricial:

[1 -1 2 3] x + [3 -3 6 9] y + [-1 1 -2 -3] z = [-1 1 -2 -3]

Esta ecuación matricial es equivalente a la siguiente ecuación vectorial:

A x + B y + C z = D

donde

A = [1 -1 2 3]
B = [3 -3 6 9]
C = [-1 1 -2 -3]
D = [-1 1 -2 -3]

La matriz A tiene un determinante no nulo, por lo que el sistema de ecuaciones es consistente. Además, la matriz A tiene rango 3, por lo que el sistema tiene tres soluciones independientes.

Como resultado, el conjunto de soluciones forma un plano en el espacio.

Ejemplo:

Si tomamos la solución x = 0, y = 1, z = -1, obtenemos que

[1 -1 2 3] x + [3 -3 6 9] y + [-1 1 -2 -3] z = [-1 1 -2 -3]

Se reduce a

[3 -1 -2] y = [2 -2]

Se resuelve para y, obteniendo y = 1.

Si sustituimos x = 0, y = 1, z = -1 en las otras tres ecuaciones, obtenemos que

-z = 1

Se resuelve para z, obteniendo z = -1.

Por lo tanto, la solución x = 0, y = 1, z = -1 es una solución del sistema.

Podemos verificar que esta solución satisface todas las cuatro ecuaciones del sistema.

Podemos tomar otras soluciones del sistema de ecuaciones de manera similar. Todas las soluciones del sistema formarán un plano en el espacio.