7.1.- Coordenadas respecto a una base
Si [ ???? ] = { ????1⃗⃗⃗⃗ , ????2⃗⃗⃗⃗ , … , ????????⃗⃗⃗⃗ } es una base de (????,+, ????,∙) entonces, por propiedad, cada vector de ???? puede expresarse de modo único como combinación lineal de los vectores de la base ya que los vectores de ésta son linealmente independientes y sistema de generadores. Es decir que si ???? ⃗⃗⃗ ∈ ???? existen y son únicos los escalares ????1, ????2, … , ???????? tales que: ???? ⃗⃗⃗ = ∑ ???????? ????????⃗⃗⃗ = ????1????1⃗⃗⃗⃗ ???? ????=1 + ????2????2⃗⃗⃗⃗ + …+ ????????????????⃗⃗⃗⃗ El vector ???? ⃗⃗⃗ ∈ ???? queda caracterizado por los coeficientes de la combinación linel, o sea, por la n–tupla de elementos de K: (????1, ????2, … , ????????). Los escalares ???????? se llaman coordenadas del vector ???? ⃗⃗⃗ ∈ ???? respecto de la base [ ???? ]. Pág.: 40 Si se elige otra base en el espacio V, entonces el mismo vector ???? ⃗⃗⃗ admite otras coordenadas (????′1, ????′2, … , ????′????). Dada una base [ ???? ] = {????1⃗⃗⃗⃗ , ????2⃗⃗⃗⃗ , … , ????????⃗⃗⃗⃗ } del espacio (????,+, ????,∙) podemos expresar cada vector de ???? como una matriz fila, cuyos elementos sean las coordenadas del vector respecto de la base [ ???? ]. En tal caso escribiremos ????[ ???? ] = (????1, ????2, . . . , ???????? ) y este vector recibe el nombre de vector de coordenadas de ???? ⃗⃗⃗ con respecto a [ ???? ]. Aquí debemos hacer una observación, nótese que los vectores de coordenadas no solo dependen de la base [ ???? ], sino también del orden en que se escriben los vectores básicos, un cambio en el orden de éstos da por resultado un cambio correspondiente en el orden de los elementos en los vectores de coordenadas.