D) Sea la matriz ???? = ( ????1⃗⃗⃗⃗ ????2⃗⃗⃗⃗ . . . ????????⃗⃗⃗⃗ ) cuyas columnas son los vectores de ????, entonces la dimensión de ???? es ???? ???? ???? y la ecuación ???????? = ???? (N matriz nula de orden ????) corresponde a un sistema de ???? ecuaciones con ???? incógnitas. Si ???? > ???? significa que hay más variables que ecuaciones por lo que debe existir al menos una variable libre. De esta manera ???????? = ???? tiene una solución no trivial y las columnas de ???? son linealmente dependientes, es decir que ???? es linealmente dependiente. Ejemplo. Sean los vectores (1, 0), (2, 1), (−1, 0) de ℝ2. Aquí ???? = 2 (todos los vectores tienen 2 entradas) y ???? = 3 (número de vectores), es decir ???? > ????. Comprobemos que los vectores dados son linealmente dependientes. Directamente podemos escribir la matriz ampliada del sistema. ( 1 2 −1 0 0 1 0 0 )~ −2????2 + ????1 ( 1 0 −1 0 0 1 0 0 ) Es un sistema compatible indeterminado. Por lo tanto el conjunto de vectores es linealmente dependiente. Reconstruimos el sistema. { ???? − ???? = 0 ???? = 0 entonces ???? = ????. Pág.: 32 Para finalizar esta sección enunciaremos, de acuerdo a los conceptos anteriores, las siguientes proposiciones equivalentes. Sea ???? = {????1⃗⃗⃗⃗ , ????2⃗⃗⃗⃗ , … , ????????⃗⃗⃗⃗ } ⊂ (????,+,????,∙) i) A es linealmente independiente. ii) Toda combinación lineal de A cuyo resultado sea el vector nulo, es la trivial. iii) Ningún vector de A es combinación lineal de los demás. Análogamente i) A es linealmente dependiente. ii) Existe una combinación lineal de A con escalares no todos nulos, cuyo resultado es el vector nulo. iii) Algún vector de A es combinación lineal de los demás. 6.- Sistema de generadores Una de las ideas más importantes que tenemos que asociar con la de espacio vectorial es la de conjunto generador. Si un conjunto no vacío de vectores de un espacio vectorial es tal que todo vector de ese espacio vectorial puede expresarse como combinación lineal de dicho conjunto, entonces se dice que éste es un sistema de generadores del espacio vectorial. Esto equivale a decir que el subespacio generado por tal conjunto es el mismo espacio vectorial. Esta idea nos produce dos definiciones. La primera relacionada con la idea que todo vector del espacio vectorial es expresado como combinación lineal del conjunto dado, esto se expresa en la siguiente Definición: sea el espacio vectorial (????,+, ????,∙) ???? ???? = { ????1⃗⃗⃗⃗ , ????2⃗⃗⃗⃗ , … , ????????⃗⃗⃗⃗ } un subconjunto finito de ????, se dice que ???? es sistema de generadores de ???? si y sólo si todo elemento de ???? se puede expresar como combinación lineal de los vectores de ????. Es decir Sean (????, +,????,∙) ???? ???? = {????1⃗⃗⃗⃗ , ????2⃗⃗⃗⃗ , … , ????????⃗⃗⃗⃗ } ⊂ ????, ???? es S. G. de ???? ⟺∀ ???? ⃗⃗⃗ ∈ ????: ???? ⃗⃗⃗ = ∑ ???????? ????????⃗⃗⃗ ???? ????=1 La idea en la práctica con esta definición es plantear una combinación lineal de los vectores de A que tenga por resultado un vector genérico del espacio vectorial y averiguar si existen los escalares propuestos que verifiquen la combinación lineal. La segunda definición se relaciona con el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de ???? o sea el subespacio generado, ???? ̅, y el cual debe coincidir con el mismo espacio vectorial ????. Esta idea se expresa en la siguiente Definición: sea el espacio vectorial (????,+, ????,∙) ???? ???? = { ????1⃗⃗⃗⃗ , ????2⃗⃗⃗⃗ , … , ????????⃗⃗⃗⃗ } un subconjunto finito de ????, se dice que ???? es sistema de generadores de ???? si el subespacio generado por ???? es igual ????. Es decir Sean (????, +,????,∙) ???? ???? = {????1⃗⃗⃗⃗ , ????2⃗⃗⃗⃗ , … , ????????⃗⃗⃗⃗ } ⊂ ????, ???? es S. G. de ???? ⟺ ???? ̅ = ????. En la práctica, aplicar esta definición significa verificar que el espacio generado por ???? es igual al espacio vectorial con el que se esta trabajando. ????